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Beliebt Trigonometrie >

6sin(x)=cos(x)-2

Lösung

6 sin (x) = cos (x) - 2

Lösung

x = - 2.64141 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.16988 \dots + 2 πn

Grad

x = - 151.34184 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 350.26648 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

6 sin (x) = cos (x) - 2

Quadriere beide Seiten

(6 sin (x))^{2} = (cos (x) - 2)^{2}

Subtrahiere

(cos (x) - 2)^{2}

von beiden Seiten

36 sin^{2} (x) - cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 4 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 - cos^{2} (x) + 36 sin^{2} (x) + 4 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 - cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x)

Vereinfache

- 4 - cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x) : 4 cos (x) - 37 cos^{2} (x) + 32

- 4 - cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x)

Multipliziere aus

36 (1 - cos^{2} (x)) : 36 - 36 cos^{2} (x)

36 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 36, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 36 \cdot 1 - 36 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

36 \cdot 1 = 36

= 36 - 36 cos^{2} (x)

= - 4 - cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x) + 4 cos (x)

Vereinfache

- 4 - cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x) + 4 cos (x) : 4 cos (x) - 37 cos^{2} (x) + 32

- 4 - cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x) + 4 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 4 + 36

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) = - 37 cos^{2} (x)

= - 37 cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 4 + 36

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 36 = 32

= 4 cos (x) - 37 cos^{2} (x) + 32

= 4 cos (x) - 37 cos^{2} (x) + 32

= 4 cos (x) - 37 cos^{2} (x) + 32

32 - 37 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

32 - 37 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

32 - 37 u^{2} + 4 u = 0

32 - 37 u^{2} + 4 u = 0 : u = - \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}, u = \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

32 - 37 u^{2} + 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 37 u^{2} + 4 u + 32 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 37 u^{2} + 4 u + 32 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 37, b = 4, c = 32

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 37 ) \cdot 32}{2 ( - 37 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 37 ) \cdot 32}{2 ( - 37 )}

4^{2} - 4 (- 37) \cdot 32 = 1233

4^{2} - 4 (- 37) \cdot 32

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 37 \cdot 32

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 37 \cdot 32 = 4736

= 4^{2} + 4736

4^{2} = 16

= 16 + 4736

Addiere die Zahlen:

16 + 4736 = 4752

= 4752

Primfaktorzerlegung von

4752 : 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 11

4752

4752

ist durch

24752 = 2376 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2376

2376

ist durch

22376 = 1188 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 1188

1188

ist durch

21188 = 594 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 594

594

ist durch

2594 = 297 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 297

297

ist durch

3297 = 99 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 99

99

ist durch

399 = 33 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 33

33

ist durch

333 = 11 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11

2, 3, 11

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11

= 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 11

= 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 11

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3 \cdot 11

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{4} 3^{2} 3 \cdot 11

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3^{2} 3 \cdot 11

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2^{2} \cdot 3 3 \cdot 11

Fasse zusammen

= 1233

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 12 33}{2 ( - 37 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 4 + 12 33}{2 ( - 37 )}, u_{2} = \frac{- 4 - 12 33}{2 ( - 37 )}

u = \frac{- 4 + 12 33}{2 ( - 37 )} : - \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}

\frac{- 4 + 12 33}{2 ( - 37 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 4 + 12 33}{- 2 \cdot 37}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{- 4 + 12 33}{- 74}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 4 + 12 33}{74}

Streiche

\frac{- 4 + 12 33}{74} : \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}

\frac{- 4 + 12 33}{74}

Faktorisiere

- 4 + 1233 : 4 (- 1 + 333)

- 4 + 1233

Schreibe um

= - 4 \cdot 1 + 4 \cdot 333

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (- 1 + 333)

= \frac{4 ( - 1 + 3 33 )}{74}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}

= - \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}

u = \frac{- 4 - 12 33}{2 ( - 37 )} : \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

\frac{- 4 - 12 33}{2 ( - 37 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 4 - 12 33}{- 2 \cdot 37}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{- 4 - 12 33}{- 74}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 4 - 1233 = - (4 + 1233)

= \frac{4 + 12 33}{74}

Faktorisiere

4 + 1233 : 4 (1 + 333)

4 + 1233

Schreibe um

= 4 \cdot 1 + 4 \cdot 333

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (1 + 333)

= \frac{4 ( 1 + 3 33 )}{74}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}, u = \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}, cos (x) = \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

cos (x) = - \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}, cos (x) = \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

cos (x) = - \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37} : x = arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37} : x = arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

6 sin (x) = cos (x) - 2

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn :

Falsch

arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 π 1

6 sin (x) = cos (x) - 2

ein, um zu lösen

6 sin (arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 π 1) = cos (arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 π 1) - 2

Fasse zusammen

2.87749 \dots = - 2.87749 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn :

Wahr

- arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 π 1

6 sin (x) = cos (x) - 2

ein, um zu lösen

6 sin (- arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 π 1) = cos (- arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 π 1) - 2

Fasse zusammen

- 2.87749 \dots = - 2.87749 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 π 1

6 sin (x) = cos (x) - 2

ein, um zu lösen

6 sin (arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 π 1) = cos (arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 π 1) - 2

Fasse zusammen

1.01439 \dots = - 1.01439 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 π 1

6 sin (x) = cos (x) - 2

ein, um zu lösen

6 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 π 1) = cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 π 1) - 2

Fasse zusammen

- 1.01439 \dots = - 1.01439 \dots

\Rightarrow Wahr

x = - arccos (- \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 2.64141 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.16988 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

csc(3x)-2=0

csc (3 x) - 2 = 0

cos(20)+14sin^2(θ)=10

cos (2 0^{\circ}) + 14 sin^{2} (θ) = 10

cos(2x-pi/3)=-1/2

cos (2 x - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}

cos(5x)=-1

cos (5 x) = - 1

tan(x)= 5/11

tan (x) = \frac{5}{11}