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Beliebt Trigonometrie >

15cos^2(θ)+2sin^2(θ)=7

Lösung

15 cos^{2} (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 7

Lösung

θ = 0.90183 \dots + 2 πn, θ = π - 0.90183 \dots + 2 πn, θ = - 0.90183 \dots + 2 πn, θ = π + 0.90183 \dots + 2 πn

Grad

θ = 51.67118 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 128.32881 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 51.67118 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 231.67118 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

15 cos^{2} (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 7

Subtrahiere

7

von beiden Seiten

15 cos^{2} (θ) + 2 sin^{2} (θ) - 7 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 7 + 15 cos^{2} (θ) + 2 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 7 + 15 (1 - sin^{2} (θ)) + 2 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 7 + 15 (1 - sin^{2} (θ)) + 2 sin^{2} (θ) : - 13 sin^{2} (θ) + 8

- 7 + 15 (1 - sin^{2} (θ)) + 2 sin^{2} (θ)

Multipliziere aus

15 (1 - sin^{2} (θ)) : 15 - 15 sin^{2} (θ)

15 (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 15, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= 15 \cdot 1 - 15 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

15 \cdot 1 = 15

= 15 - 15 sin^{2} (θ)

= - 7 + 15 - 15 sin^{2} (θ) + 2 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 7 + 15 - 15 sin^{2} (θ) + 2 sin^{2} (θ) : - 13 sin^{2} (θ) + 8

- 7 + 15 - 15 sin^{2} (θ) + 2 sin^{2} (θ)

Addiere gleiche Elemente:

- 15 sin^{2} (θ) + 2 sin^{2} (θ) = - 13 sin^{2} (θ)

= - 7 + 15 - 13 sin^{2} (θ)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 7 + 15 = 8

= - 13 sin^{2} (θ) + 8

= - 13 sin^{2} (θ) + 8

= - 13 sin^{2} (θ) + 8

8 - 13 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

8 - 13 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

8 - 13 u^{2} = 0

8 - 13 u^{2} = 0 : u = \frac{2 26}{13}, u = - \frac{2 26}{13}

8 - 13 u^{2} = 0

Verschiebe

8

auf die rechte Seite

8 - 13 u^{2} = 0

Subtrahiere

8

von beiden Seiten

8 - 13 u^{2} - 8 = 0 - 8

Vereinfache

- 13 u^{2} = - 8

- 13 u^{2} = - 8

Teile beide Seiten durch

- 13

- 13 u^{2} = - 8

Teile beide Seiten durch

- 13

\frac{- 13 u ^{2}}{- 13} = \frac{- 8}{- 13}

Vereinfache

u^{2} = \frac{8}{13}

u^{2} = \frac{8}{13}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{8}{13}, u = - \frac{8}{13}

\frac{8}{13} = \frac{2 26}{13}

\frac{8}{13}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{8}{13}

8 = 22

8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

= \frac{2 2}{13}

Rationalisiere

\frac{2 2}{13} : \frac{2 26}{13}

\frac{2 2}{13}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{13}{13}

= \frac{2 2 13}{13 13}

2213 = 226

2213

Wende Radikal Regel an:

a b = a \cdot b

213 = 2 \cdot 13

= 2 2 \cdot 13

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 13 = 26

= 226

1313 = 13

1313

Wende Radikal Regel an:

a a = a

1313 = 13

= 13

= \frac{2 26}{13}

= \frac{2 26}{13}

- \frac{8}{13} = - \frac{2 26}{13}

- \frac{8}{13}

Vereinfache

\frac{8}{13} : \frac{2 2}{13}

\frac{8}{13}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{8}{13}

8 = 22

8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

= \frac{2 2}{13}

= - \frac{2 2}{13}

Rationalisiere

- \frac{2 2}{13} : - \frac{2 26}{13}

- \frac{2 2}{13}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{13}{13}

= - \frac{2 2 13}{13 13}

2213 = 226

2213

Wende Radikal Regel an:

a b = a \cdot b

213 = 2 \cdot 13

= 2 2 \cdot 13

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 13 = 26

= 226

1313 = 13

1313

Wende Radikal Regel an:

a a = a

1313 = 13

= 13

= - \frac{2 26}{13}

= - \frac{2 26}{13}

u = \frac{2 26}{13}, u = - \frac{2 26}{13}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{2 26}{13}, sin (θ) = - \frac{2 26}{13}

sin (θ) = \frac{2 26}{13}, sin (θ) = - \frac{2 26}{13}

sin (θ) = \frac{2 26}{13} : θ = arcsin (\frac{2 26}{13}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{2 26}{13}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{2 26}{13}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{2 26}{13}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{2 26}{13}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{2 26}{13}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{2 26}{13}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{2 26}{13}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{2 26}{13}) + 2 πn

sin (θ) = - \frac{2 26}{13} : θ = arcsin (- \frac{2 26}{13}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{2 26}{13}) + 2 πn

sin (θ) = - \frac{2 26}{13}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = - \frac{2 26}{13}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{2 26}{13}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{2 26}{13}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{2 26}{13}) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{2 26}{13}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{2 26}{13}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arcsin (\frac{2 26}{13}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{2 26}{13}) + 2 πn, θ = arcsin (- \frac{2 26}{13}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{2 26}{13}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 0.90183 \dots + 2 πn, θ = π - 0.90183 \dots + 2 πn, θ = - 0.90183 \dots + 2 πn, θ = π + 0.90183 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

solvefor x,csc(x)+cot(x)=(sqrt(3))/3

so l v e f or x, csc (x) + cot (x) = \frac{3}{3}

5cos(θ)+1=8cos(θ)

5 cos (θ) + 1 = 8 cos (θ)

tan(x)=-12/35

tan (x) = - \frac{12}{35}

2cot^2(x)-2csc(x)=2

2 cot^{2} (x) - 2 csc (x) = 2

6cos^3(x)=6cos(x)

6 cos^{3} (x) = 6 cos (x)