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Beliebt Trigonometrie >

cos^2(a)+2cos(a)=sin^2(a/2)-2

Lösung

cos^{2} (a) + 2 cos (a) = sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2

Lösung

a = π + 2 πn

Grad

a = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos^{2} (a) + 2 cos (a) = sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2

Subtrahiere

sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2

von beiden Seiten

cos^{2} (a) + 2 cos (a) - sin^{2} (\frac{a}{2}) + 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 + cos^{2} (a) - sin^{2} (\frac{a}{2}) + 2 cos (a)

Verwende die folgenden Identitäten:

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Tausche die Seiten

2 sin^{2} (θ) - 1 = - cos (2 θ)

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 sin^{2} (θ) = 1 - cos (2 θ)

Teile beide Seiten durch

2

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

= 2 + cos^{2} (a) - \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{a}{2} )}{2} + 2 cos (a)

Vereinfache

2 + cos^{2} (a) - \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{a}{2} )}{2} + 2 cos (a) : \frac{5 cos ( a ) + 2 cos ^{2} ( a ) - 1}{2} + 2

2 + cos^{2} (a) - \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{a}{2} )}{2} + 2 cos (a)

Multipliziere

2 \cdot \frac{a}{2} : a

2 \cdot \frac{a}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{a \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= a

= 2 + cos^{2} (a) - \frac{- cos ( a ) + 1}{2} + 2 cos (a)

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{- cos ( a ) + 1}{2} + cos^{2} (a) + 2 cos (a) : \frac{5 cos ( a ) + 2 cos ^{2} ( a ) - 1}{2}

- \frac{- cos ( a ) + 1}{2} + cos^{2} (a) + 2 cos (a)

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos^{2} (a) = \frac{cos ^{2} ( a ) 2}{2}, 2 cos (a) = \frac{2 cos ( a ) 2}{2}

= - \frac{1 - cos ( a )}{2} + \frac{cos ^{2} ( a ) \cdot 2}{2} + \frac{2 cos ( a ) \cdot 2}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- ( 1 - cos ( a ) ) + cos ^{2} ( a ) \cdot 2 + 2 cos ( a ) \cdot 2}{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- ( - cos ( a ) + 1 ) + 2 cos ^{2} ( a ) + 4 cos ( a )}{2}

Multipliziere aus

- (1 - cos (a)) + cos^{2} (a) \cdot 2 + 4 cos (a) : 5 cos (a) + 2 cos^{2} (a) - 1

- (1 - cos (a)) + cos^{2} (a) \cdot 2 + 4 cos (a)

= - (1 - cos (a)) + 2 cos^{2} (a) + 4 cos (a)

- (1 - cos (a)) : - 1 + cos (a)

- (1 - cos (a))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos (a))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos (a)

= - 1 + cos (a) + cos^{2} (a) \cdot 2 + 4 cos (a)

Vereinfache

- 1 + cos (a) + cos^{2} (a) \cdot 2 + 4 cos (a) : 5 cos (a) + 2 cos^{2} (a) - 1

- 1 + cos (a) + cos^{2} (a) \cdot 2 + 4 cos (a)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos (a) + 2 cos^{2} (a) + 4 cos (a) - 1

Addiere gleiche Elemente:

cos (a) + 4 cos (a) = 5 cos (a)

= 5 cos (a) + 2 cos^{2} (a) - 1

= 5 cos (a) + 2 cos^{2} (a) - 1

= \frac{5 cos ( a ) + 2 cos ^{2} ( a ) - 1}{2}

= \frac{2 cos ^{2} ( a ) + 5 cos ( a ) - 1}{2} + 2

= \frac{5 cos ( a ) + 2 cos ^{2} ( a ) - 1}{2} + 2

2 + \frac{- 1 + 2 cos ^{2} ( a ) + 5 cos ( a )}{2} = 0

Löse mit Substitution

2 + \frac{- 1 + 2 cos ^{2} ( a ) + 5 cos ( a )}{2} = 0

Angenommen:

cos (a) = u

2 + \frac{- 1 + 2 u ^{2} + 5 u}{2} = 0

2 + \frac{- 1 + 2 u ^{2} + 5 u}{2} = 0 : u = - 1, u = - \frac{3}{2}

2 + \frac{- 1 + 2 u ^{2} + 5 u}{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

2

2 + \frac{- 1 + 2 u ^{2} + 5 u}{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

2

2 \cdot 2 + \frac{- 1 + 2 u ^{2} + 5 u}{2} \cdot 2 = 0 \cdot 2

Vereinfache

4 - 1 + 2 u^{2} + 5 u = 0

4 - 1 + 2 u^{2} + 5 u = 0

2 u^{2} + 5 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + 5 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 5, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2}

5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1

5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 5^{2} - 24

5^{2} = 25

= 25 - 24

Subtrahiere die Zahlen:

25 - 24 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 1}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 5 + 1}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 5 - 1}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 5 + 1}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- 5 + 1}{2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 1 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- 5 - 1}{2 \cdot 2} : - \frac{3}{2}

\frac{- 5 - 1}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 5 - 1 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 6}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{3}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = - \frac{3}{2}

Setze in

u = cos (a)

ein

cos (a) = - 1, cos (a) = - \frac{3}{2}

cos (a) = - 1, cos (a) = - \frac{3}{2}

cos (a) = - 1 : a = π + 2 πn

cos (a) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (a) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

a = π + 2 πn

a = π + 2 πn

cos (a) = - \frac{3}{2} :

Keine Lösung

cos (a) = - \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

a = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

8tan^2(x)-8=0

8 tan^{2} (x) - 8 = 0

10sin^2(x)=5

10 sin^{2} (x) = 5

sin(x+pi/3)+sin(x-pi/3)=1,0<= x<= 2pi

sin (x + \frac{π}{3}) + sin (x - \frac{π}{3}) = 1, 0 \leq x \leq 2 π

1=2cos(θ)

1 = 2 cos (θ)

1/(tan(x)-cot(x))=sin(x)cos(x)

\frac{1}{tan ( x ) - cot ( x )} = sin (x) cos (x)