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受欢迎的三角函数 >

证明 (cos(θ))/(1-sin(θ))=sec(θ)+tan(θ)

解答

证明

\frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} = sec (θ) + tan (θ)

解答

真

求解步骤

\frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} = sec (θ) + tan (θ)

调整右侧

sec (θ) + tan (θ)

用 sin, cos 表示

sec (θ) + tan (θ)

使用基本三角恒等式:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( θ )} + tan (θ)

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

化简

\frac{1}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{1}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

使用三角恒等式改写

乘以

\frac{1 - sin ( θ )}{1 - sin ( θ )}

= \frac{( 1 + sin ( θ ) ) ( 1 - sin ( θ ) )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

乘开

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ)) : 1 - sin^{2} (θ)

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ))

使用平方差公式:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (θ)

= 1^{2} - sin^{2} (θ)

使用法则

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (θ)

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

使用毕达哥拉斯恒等式:

1 = cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

1 - sin^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

约分:

cos (θ)

= \frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )}

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 tan(x)+cot(x)=2csc(2x)

p ro v e tan (x) + cot (x) = 2 csc (2 x)

证明 sin(pi/2-x)=cos(x)

p ro v e sin (\frac{π}{2} - x) = cos (x)

证明 tan(2x)=((2tan(x)))/((1-tan^2(x)))

p ro v e tan (2 x) = \frac{( 2 tan ( x ) )}{( 1 - tan ^{2} ( x ) )}

证明 cos^2(x)=(1+cos(2x))/2

p ro v e cos^{2} (x) = \frac{1 + cos ( 2 x )}{2}

证明 (csc^2(x)-1)sec(x)=cot(x)csc(x)

p ro v e (csc^{2} (x) - 1) sec (x) = cot (x) csc (x)