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人気のある三角関数 >

証明する cot^2(y)(sec^2(y)-1)=1

解

証明する

cot^{2} (y) (sec^{2} (y) - 1) = 1

解

真

解答ステップ

cot^{2} (y) (sec^{2} (y) - 1) = 1

左側を操作する

cot^{2} (y) (sec^{2} (y) - 1)

サイン, コサインで表わす

(- 1 + sec^{2} (y)) cot^{2} (y)

基本的な三角関数の公式を使用する:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{cos ( y )})^{2}) cot^{2} (y)

基本的な三角関数の公式を使用する:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{cos ( y )})^{2}) (\frac{cos ( y )}{sin ( y )})^{2}

簡素化

(- 1 + (\frac{1}{cos ( y )})^{2}) (\frac{cos ( y )}{sin ( y )})^{2} : \frac{- cos ^{2} ( y ) + 1}{sin ^{2} ( y )}

(- 1 + (\frac{1}{cos ( y )})^{2}) (\frac{cos ( y )}{sin ( y )})^{2}

(\frac{1}{cos ( y )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( y )}

(\frac{1}{cos ( y )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( y )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( y )}

= (\frac{cos ( y )}{sin ( y )})^{2} (\frac{1}{cos ^{2} ( y )} - 1)

(\frac{cos ( y )}{sin ( y )})^{2} = \frac{cos ^{2} ( y )}{sin ^{2} ( y )}

(\frac{cos ( y )}{sin ( y )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( y )}{sin ^{2} ( y )}

= \frac{cos ^{2} ( y )}{sin ^{2} ( y )} (\frac{1}{cos ^{2} ( y )} - 1)

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( y ) ( - 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( y )} )}{sin ^{2} ( y )}

結合

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( y )} : \frac{- cos ^{2} ( y ) + 1}{cos ^{2} ( y )}

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( y )}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )} + \frac{1}{cos ^{2} ( y )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( y ) + 1}{cos ^{2} ( y )}

乗算:

1 \cdot cos^{2} (y) = cos^{2} (y)

= \frac{- cos ^{2} ( y ) + 1}{cos ^{2} ( y )}

= \frac{\frac{- c o s ^{2} ( y ) + 1}{c o s ^{2} ( y )} cos ^{2} ( y )}{sin ^{2} ( y )}

乗じる

cos^{2} (y) \frac{- cos ^{2} ( y ) + 1}{cos ^{2} ( y )} : - cos^{2} (y) + 1

cos^{2} (y) \frac{- cos ^{2} ( y ) + 1}{cos ^{2} ( y )}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ^{2} ( y ) + 1 ) cos ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

共通因数を約分する:

cos^{2} (y)

= - - cos^{2} (y) + 1

= \frac{- cos ^{2} ( y ) + 1}{sin ^{2} ( y )}

= \frac{- cos ^{2} ( y ) + 1}{sin ^{2} ( y )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( y )}{sin ^{2} ( y )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{1 - cos ^{2} ( y )}{sin ^{2} ( y )}

ピタゴラスの公式を使用する:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( y )}{sin ^{2} ( y )}

規則を適用

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 1

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する tan(x-pi/2)=-cot(x)

p ro v e tan (x - \frac{π}{2}) = - cot (x)

証明する sin(pi-θ)=sin(θ)

p ro v e sin (π - θ) = sin (θ)

証明する tan(x/2)=csc(x)-cot(x)

p ro v e tan (\frac{x}{2}) = csc (x) - cot (x)

証明する tan(x)cot(x)=1

p ro v e tan (x) cot (x) = 1

証明する 1/2 (cot(x)+tan(x))=csc(2x)

p ro v e \frac{1}{2} (cot (x) + tan (x)) = csc (2 x)