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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (1+cot^2(x))tan(x)=csc(x)sec(x)

Lösung

beweisen

(1 + cot^{2} (x)) tan (x) = csc (x) sec (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

(1 + cot^{2} (x)) tan (x) = csc (x) sec (x)

Manipuliere die linke Seite

(1 + cot^{2} (x)) tan (x)

Drücke mit sin, cos aus

(1 + cot^{2} (x)) tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}) tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

(1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

(1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) ( 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2} )}{cos ( x )}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ( x ) ( \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )} + 1 )}{cos ( x )}

Füge

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( x ) + c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )} sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere

sin (x) \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} : \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

sin (x) \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( x ) + c o s ^{2} ( x )}{s i n ( x )}}{cos ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{1}{cos ( x ) sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{cos ( x ) \frac{1}{c s c ( x )}}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( x )} \cdot \frac{1}{c s c ( x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( x )} \cdot \frac{1}{c s c ( x )}}

Multipliziere

\frac{1}{sec ( x )} \cdot \frac{1}{csc ( x )} : \frac{1}{sec ( x ) csc ( x )}

\frac{1}{sec ( x )} \cdot \frac{1}{csc ( x )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sec ( x ) csc ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sec ( x ) csc ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ( x ) c s c ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( x ) csc ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (x) csc (x)

sec (x) csc (x)

sec (x) csc (x)

= csc (x) sec (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sin(a+b)+sin(a-b)=2sin(a)cos(b)

p ro v e sin (a + b) + sin (a - b) = 2 sin (a) cos (b)

beweisen (cos(x))(1+tan(x))^2=sec(x)+2sin(x)

p ro v e (cos (x)) (1 + tan (x))^{2} = sec (x) + 2 sin (x)

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p ro v e \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 tan ( x )} = csc (2 x)

beweisen cos(3θ)=cos^3(θ)-3cos(θ)sin^2(θ)

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p ro v e \frac{tan ^{2} ( x )}{sec ( x )} = sin (x) tan (x)