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Beliebt Trigonometrie >

beweisen tan(2x)= 2/(cot(x)-tan(x))

Lösung

beweisen

tan (2 x) = \frac{2}{cot ( x ) - tan ( x )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (2 x) = \frac{2}{cot ( x ) - tan ( x )}

Manipuliere die linke Seite

tan (2 x)

Drücke mit sin, cos aus

tan (2 x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ( 2 x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{2}{cot ( x ) - tan ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{2}{cot ( x ) - tan ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{2}{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} - tan ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2}{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Vereinfache

\frac{2}{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} : \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

\frac{2}{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Füge

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

sin (x), cos (x) : sin (x) cos (x)

sin (x), cos (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

sin (x)

oder

cos (x)

auftauchen.

= sin (x) cos (x)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

sin (x) cos (x)

Für

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (x)

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Für

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{2}{\frac{c o s ^{2} ( x ) - s i n ^{2} ( x )}{s i n ( x ) c o s ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

= \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (sin(2x))/(sin(x))-(cos(2x))/(cos(x))=sec(x)

p ro v e \frac{sin ( 2 x )}{sin ( x )} - \frac{cos ( 2 x )}{cos ( x )} = sec (x)

beweisen (csc^2(x)-1)sec(x)=cos(x)csc^2(x)

p ro v e (csc^{2} (x) - 1) sec (x) = cos (x) csc^{2} (x)

beweisen (1+cot^2(x))tan^2(x)=sec^2(x)

p ro v e (1 + cot^{2} (x)) tan^{2} (x) = sec^{2} (x)

beweisen sin(x)(csc(x)-sin(x))=cos^2(x)

p ro v e sin (x) (csc (x) - sin (x)) = cos^{2} (x)

beweisen cot(x)-tan(x)=sec(x)(csc(x)-2sin(x))

p ro v e cot (x) - tan (x) = sec (x) (csc (x) - 2 sin (x))