English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Beliebt Trigonometrie >

beweisen 1/(1+cos(x))+1/(1-cos(x))=2csc^2(x)

Lösung

beweisen

\frac{1}{1 + cos ( x )} + \frac{1}{1 - cos ( x )} = 2 csc^{2} (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1}{1 + cos ( x )} + \frac{1}{1 - cos ( x )} = 2 csc^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1}{1 + cos ( x )} + \frac{1}{1 - cos ( x )}

Vereinfache

\frac{1}{1 + cos ( x )} + \frac{1}{1 - cos ( x )} : \frac{2}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

\frac{1}{1 + cos ( x )} + \frac{1}{1 - cos ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1 + cos (x), 1 - cos (x) : (cos (x) + 1) (- cos (x) + 1)

1 + cos (x), 1 - cos (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

1 + cos (x)

oder

1 - cos (x)

auftauchen.

= (cos (x) + 1) (- cos (x) + 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

(cos (x) + 1) (- cos (x) + 1)

Für

\frac{1}{1 + cos ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- cos (x) + 1

\frac{1}{1 + cos ( x )} = \frac{1 \cdot ( - cos ( x ) + 1 )}{( 1 + cos ( x ) ) ( - cos ( x ) + 1 )} = \frac{- cos ( x ) + 1}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

Für

\frac{1}{1 - cos ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (x) + 1

\frac{1}{1 - cos ( x )} = \frac{1 \cdot ( cos ( x ) + 1 )}{( 1 - cos ( x ) ) ( cos ( x ) + 1 )} = \frac{cos ( x ) + 1}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

= \frac{- cos ( x ) + 1}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )} + \frac{cos ( x ) + 1}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( x ) + 1 + cos ( x ) + 1}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

- cos (x) + 1 + cos (x) + 1 = 2

- cos (x) + 1 + cos (x) + 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos (x) + cos (x) + 1 + 1

Addiere gleiche Elemente:

- cos (x) + cos (x) = 0

= 1 + 1

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2

= \frac{2}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

= \frac{2}{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{2}{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}

Multipliziere aus

(1 + cos (x)) (1 - cos (x)) : 1 - cos^{2} (x)

(1 + cos (x)) (1 - cos (x))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = cos (x)

= 1^{2} - cos^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - cos^{2} (x)

= \frac{2}{1 - cos ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{2}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{2}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{2}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{2}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

= \frac{2}{\frac{1}{c s c ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 csc ^{2} ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= 2 csc^{2} (x)

2 csc^{2} (x)

2 csc^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (csc(-x))/(sec(-x))=-cot(x)

p ro v e \frac{csc ( - x )}{sec ( - x )} = - cot (x)

beweisen cos(x-y)+cos(x+y)=2cos(x)cos(y)

p ro v e cos (x - y) + cos (x + y) = 2 cos (x) cos (y)

beweisen sin(pi/6+x)+sin(pi/6-x)=cos(x)

p ro v e sin (\frac{π}{6} + x) + sin (\frac{π}{6} - x) = cos (x)

beweisen (cot(x)-csc(x))(cos(x)+1)=-sin(x)

p ro v e (cot (x) - csc (x)) (cos (x) + 1) = - sin (x)

beweisen csc^4(θ)-cot^4(θ)=2csc^2(θ)-1

p ro v e csc^{4} (θ) - cot^{4} (θ) = 2 csc^{2} (θ) - 1