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beweisen (sec^2(x)-1)cos(x)=tan(x)sin(x)

Lösung

beweisen

(sec^{2} (x) - 1) cos (x) = tan (x) sin (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

(sec^{2} (x) - 1) cos (x) = tan (x) sin (x)

Manipuliere die linke Seite

(sec^{2} (x) - 1) cos (x)

Drücke mit sin, cos aus

(- 1 + sec^{2} (x)) cos (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) cos (x)

Vereinfache

(- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) cos (x) : \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

(- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) cos (x)

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= cos (x) (\frac{1}{cos ^{2} ( x )} - 1)

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )} cos (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ^{2} ( x ) + 1 ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

tan (x) sin (x)

Drücke mit sin, cos aus

sin (x) tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cot (x) = \frac{1}{tan ( x )}

p ro v e sec (- x) sin (x) = tan (x)

p ro v e \frac{cos ^{2} ( v )}{sin ( v )} = csc (v) - sin (v)

p ro v e sin (2 x) = 2 cot (x) sin^{2} (x)

p ro v e \frac{sec ( t ) - cos ( t )}{sec ( t )} = sin^{2} (t)