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beweisen (csc(x)-cot(x))/(sec(x)-1)=cot(x)

Lösung

beweisen

\frac{csc ( x ) - cot ( x )}{sec ( x ) - 1} = cot (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{csc ( x ) - cot ( x )}{sec ( x ) - 1} = cot (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{csc ( x ) - cot ( x )}{sec ( x ) - 1}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- cot ( x ) + csc ( x )}{- 1 + sec ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + csc ( x )}{- 1 + sec ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{- \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{1}{s i n ( x )}}{- 1 + sec ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{- \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{1}{s i n ( x )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( x )}}

Vereinfache

\frac{- \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{1}{s i n ( x )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( x )}} : \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{- \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{1}{s i n ( x )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( x )}}

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )} : \frac{- cos ( x ) + 1}{sin ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{- c o s ( x ) + 1}{s i n ( x )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- cos ( x ) + 1}{sin ( x ) ( - 1 + \frac{1}{c o s ( x )} )}

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ( x )}

zusammen:

\frac{- cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

- 1 + \frac{1}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{- cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{- cos ( x ) + 1}{\frac{- c o s ( x ) + 1}{c o s ( x )} sin ( x )}

Multipliziere

sin (x) \frac{- cos ( x ) + 1}{cos ( x )} : \frac{sin ( x ) ( - cos ( x ) + 1 )}{cos ( x )}

sin (x) \frac{- cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ( x ) + 1 ) sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- cos ( x ) + 1}{\frac{s i n ( x ) ( - c o s ( x ) + 1 )}{c o s ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( - cos ( x ) + 1 ) cos ( x )}{( - cos ( x ) + 1 ) sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

- cos (x) + 1

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1 + cos ( x )}{1 - cos ( x )} - \frac{1 - cos ( x )}{1 + cos ( x )} = 4 cot (x) csc (x)

p ro v e cos (z + w) = cos (z) cos (w) - sin (z) sin (w)

p ro v e tan (π - θ) = - tan (θ)

p ro v e \frac{sin ( θ )}{1 - cos ( θ )} = csc (θ) + cot (θ)

p ro v e cos^{2} (5 x) - sin^{2} (5 x) = cos (10 x)