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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (cot(x)-1)/(cot(x)+1)=(cos(2x))/(1+sin(2x))

Lösung

beweisen

\frac{cot ( x ) - 1}{cot ( x ) + 1} = \frac{cos ( 2 x )}{1 + sin ( 2 x )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cot ( x ) - 1}{cot ( x ) + 1} = \frac{cos ( 2 x )}{1 + sin ( 2 x )}

Manipuliere die linke Seite

\frac{cot ( x ) - 1}{cot ( x ) + 1}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 1 + cot ( x )}{1 + cot ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- 1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Vereinfache

\frac{- 1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}} : \frac{- sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x ) + cos ( x )}

\frac{- 1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Füge

1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

zusammen:

\frac{sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- 1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{s i n ( x ) + c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Füge

- 1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

zusammen:

\frac{- sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

- 1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{- sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{\frac{- s i n ( x ) + c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{s i n ( x ) + c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - sin ( x ) + cos ( x ) ) sin ( x )}{sin ( x ) ( sin ( x ) + cos ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{- sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x ) + cos ( x )}

= \frac{- sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x ) + cos ( x )}

= \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

Multipliziere mit

\frac{cos ( 2 x ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}{cos ( 2 x ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

= \frac{( cos ( x ) - sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Multipliziere aus

(cos (x) - sin (x)) (cos (x) - sin (x)) cos (2 x) : cos^{2} (x) cos (2 x) - 2 cos (2 x) cos (x) sin (x) + sin^{2} (x) cos (2 x)

(cos (x) - sin (x)) (cos (x) - sin (x)) cos (2 x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

(cos (x) - sin (x)) (cos (x) - sin (x)) = (cos (x) - sin (x))^{1 + 1}

= (cos (x) - sin (x))^{1 + 1} cos (2 x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= (cos (x) - sin (x))^{2} cos (2 x)

(cos (x) - sin (x))^{2} = cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x)

(cos (x) - sin (x))^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = cos (x), b = sin (x)

= cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x)

= cos (2 x) (cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x))

= cos (2 x) (cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x))

Setze Klammern

= cos (2 x) cos^{2} (x) + cos (2 x) (- 2 cos (x) sin (x)) + cos (2 x) sin^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= cos^{2} (x) cos (2 x) - 2 cos (2 x) cos (x) sin (x) + sin^{2} (x) cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 x ) cos ^{2} ( x ) + cos ( 2 x ) sin ^{2} ( x ) - 2 cos ( 2 x ) cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ( 2 x ) cos ^{2} ( x ) + cos ( 2 x ) sin ^{2} ( x ) - 2 cos ( 2 x ) cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{cos ( 2 x ) cos ^{2} ( x ) + cos ( 2 x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) - 2 cos ( 2 x ) cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Vereinfache

\frac{cos ( 2 x ) cos ^{2} ( x ) + cos ( 2 x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) - 2 cos ( 2 x ) cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )} : \frac{1 - 2 cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

\frac{cos ( 2 x ) cos ^{2} ( x ) + cos ( 2 x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) - 2 cos ( 2 x ) cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Faktorisiere

cos (2 x) cos^{2} (x) + cos (2 x) (1 - cos^{2} (x)) - 2 cos (2 x) cos (x) sin (x) : cos (2 x) (1 - 2 cos (x) sin (x))

cos (2 x) cos^{2} (x) + cos (2 x) (1 - cos^{2} (x)) - 2 cos (2 x) cos (x) sin (x)

Klammere gleiche Terme aus

cos (2 x)

= cos (2 x) (cos^{2} (x) - cos^{2} (x) + 1 - 2 cos (x) sin (x))

Fasse zusammen

= cos (2 x) (- 2 cos (x) sin (x) + 1)

= \frac{cos ( 2 x ) ( 1 - 2 cos ( x ) sin ( x ) )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (2 x)

= \frac{1 - 2 cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

= \frac{1 - 2 cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{1 - sin ( 2 x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Multipliziere aus

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x)) : cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = cos (x), b = sin (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Multipliziere mit

\frac{1 + sin ( 2 x )}{1 + sin ( 2 x )}

= \frac{( 1 - sin ( 2 x ) ) ( 1 + sin ( 2 x ) )}{( cos ( 2 x ) ) ( 1 + sin ( 2 x ) )}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(1 - sin (x)) (1 + sin (x)) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( 2 x )}{( cos ( 2 x ) ) ( 1 + sin ( 2 x ) )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( 2 x )}{( 1 + sin ( 2 x ) ) cos ( 2 x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 x )}{1 + sin ( 2 x )}

= \frac{cos ( 2 x )}{1 + sin ( 2 x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (1+tan^2(u))/(1-tan^2(u))= 1/(cos^2(u)-sin^2(u))

p ro v e \frac{1 + tan ^{2} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} = \frac{1}{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}

beweisen 1+tan^2(-x)=sec^2(x)

p ro v e 1 + tan^{2} (- x) = sec^{2} (x)

beweisen tan(pi/2-x)=cot(x)

p ro v e tan (\frac{π}{2} - x) = cot (x)

beweisen cos(pi/4-x)+cos(pi/4+x)=sqrt(2)cos(x)

p ro v e cos (\frac{π}{4} - x) + cos (\frac{π}{4} + x) = 2 cos (x)

beweisen sin^4(x)-cos^4(x)=-cos(2x)

p ro v e sin^{4} (x) - cos^{4} (x) = - cos (2 x)