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beweisen (sin^2(a))/(1-cos(a))=1+cos(a)

Lösung

beweisen

\frac{sin ^{2} ( a )}{1 - cos ( a )} = 1 + cos (a)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ^{2} ( a )}{1 - cos ( a )} = 1 + cos (a)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ^{2} ( a )}{1 - cos ( a )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{2} ( a )}{1 - cos ( a )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( a )}{1 - cos ( a )}

Vereinfache

\frac{1 - cos ^{2} ( a )}{1 - cos ( a )} : cos (a) + 1

\frac{1 - cos ^{2} ( a )}{1 - cos ( a )}

Faktorisiere

1 - cos^{2} (a) : - (cos (a) + 1) (cos (a) - 1)

1 - cos^{2} (a)

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (cos^{2} (a) - 1)

Faktorisiere

cos^{2} (a) - 1 : (cos (a) + 1) (cos (a) - 1)

cos^{2} (a) - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= cos^{2} (a) - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (a) - 1^{2} = (cos (a) + 1) (cos (a) - 1)

= (cos (a) + 1) (cos (a) - 1)

= - (cos (a) + 1) (cos (a) - 1)

= - \frac{( cos ( a ) + 1 ) ( cos ( a ) - 1 )}{1 - cos ( a )}

Streiche

- \frac{( cos ( a ) + 1 ) ( cos ( a ) - 1 )}{1 - cos ( a )} : cos (a) + 1

- \frac{( cos ( a ) + 1 ) ( cos ( a ) - 1 )}{1 - cos ( a )}

- cos (a) + 1 = - (cos (a) - 1)

= - \frac{( cos ( a ) + 1 ) ( cos ( a ) - 1 )}{- ( cos ( a ) - 1 )}

Fasse zusammen

= \frac{( cos ( a ) + 1 ) ( cos ( a ) - 1 )}{cos ( a ) - 1}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (a) - 1

= cos (a) + 1

= cos (a) + 1

= cos (a) + 1

= cos (a) + 1

= 1 + cos (a)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan (8 θ) - tan (8 θ) tan^{2} (4 θ) = 2 tan (4 θ)

p ro v e (tan (x) + cot (x))^{2} = sec^{2} (x) csc^{2} (x)

p ro v e \frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} = \frac{sin ( θ ) - csc ( θ )}{cos ( θ ) - cot ( θ )}

p ro v e \frac{cot ( θ ) sec ( θ )}{csc ( θ )} = 1

p ro v e sin^{2} (x) cos (x) sec (x) = 1 - cos^{2} (x)