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beweisen tan^2(x)-tan^2(x)sin^2(x)=sin^2(x)

Lösung

beweisen

tan^{2} (x) - tan^{2} (x) sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

tan^{2} (x) - tan^{2} (x) sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

tan^{2} (x) - tan^{2} (x) sin^{2} (x)

Faktorisiere

tan^{2} (x) - sin^{2} (x) tan^{2} (x) : tan^{2} (x) (1 - sin^{2} (x))

tan^{2} (x) - sin^{2} (x) tan^{2} (x)

Klammere gleiche Terme aus

tan^{2} (x)

= tan^{2} (x) (1 - sin^{2} (x))

= (1 - sin^{2} (x)) tan^{2} (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 - sin^{2} (x)) tan^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) tan^{2} (x)

= cos^{2} (x) tan^{2} (x)

Drücke mit sin, cos aus

cos^{2} (x) tan^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= cos^{2} (x) (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Vereinfache

cos^{2} (x) (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} : sin^{2} (x)

cos^{2} (x) (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} cos^{2} (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (x)

= sin^{2} (x)

= sin^{2} (x)

= sin^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e csc (2 x) = \frac{csc ( x )}{2 cos ( x )}

p ro v e \frac{1 - tan ( x )}{1 + tan ( x )} = \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

p ro v e csch^{2} (x) = coth^{2} (x) - 1

p ro v e \frac{tan ( y )}{csc ( y )} = \frac{1}{cos ( y )} - \frac{1}{sec ( y )}

p ro v e 2 tan (x) sec (x) = \frac{1}{1 - sin ( x )} - \frac{1}{1 + sin ( x )}