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人気のある三角関数 >

証明する cos^4(θ)-sin^4(θ)=2cos^2(θ)-1

解

証明する

cos^{4} (θ) - sin^{4} (θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

解

真

解答ステップ

cos^{4} (θ) - sin^{4} (θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

左側を操作する

cos^{4} (θ) - sin^{4} (θ)

因数

cos^{4} (θ) - sin^{4} (θ) : (cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)) (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

cos^{4} (θ) - sin^{4} (θ)

cos^{4} (θ) - sin^{4} (θ)

を書き換え

(cos^{2} (θ))^{2} - (sin^{2} (θ))^{2}

cos^{4} (θ) - sin^{4} (θ)

指数の規則を適用する:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (θ) = (sin^{2} (θ))^{2}

= cos^{4} (θ) - (sin^{2} (θ))^{2}

指数の規則を適用する:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

cos^{4} (θ) = (cos^{2} (θ))^{2}

= (cos^{2} (θ))^{2} - (sin^{2} (θ))^{2}

= (cos^{2} (θ))^{2} - (sin^{2} (θ))^{2}

2乗の差の公式を適用する:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(cos^{2} (θ))^{2} - (sin^{2} (θ))^{2} = (cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)) (cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ))

= (cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)) (cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ))

因数

cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ) : (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

2乗の差の公式を適用する:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ) = (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

= (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

= (cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)) (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

= (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ)) (cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ))

三角関数の公式を使用して書き換える

(cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ)) (cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ))

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ)) \cdot 1

簡素化

= (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

拡張

(cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ)) : cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

(cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

2乗の差の公式を適用する:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = cos (θ), b = sin (θ)

= cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

2倍角の公式を使用:

cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ) = cos (2 θ)

= cos (2 θ)

2倍角の公式を使用:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (θ) - 1

= 2 cos^{2} (θ) - 1

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する sin(x)tan(x)+cos(x)= 1/(cos(x))

p ro v e sin (x) tan (x) + cos (x) = \frac{1}{cos ( x )}

証明する (1-cos(x))/(sin(x))=tan(x/2)

p ro v e \frac{1 - cos ( x )}{sin ( x )} = tan (\frac{x}{2})

証明する cos(4θ)=8cos^4(θ)-8cos^2(θ)+1

p ro v e cos (4 θ) = 8 cos^{4} (θ) - 8 cos^{2} (θ) + 1

証明する 1-2cos^2(x)=2sin^2(x)-1

p ro v e 1 - 2 cos^{2} (x) = 2 sin^{2} (x) - 1

証明する sin(2A)=2sin(A)cos(A)

p ro v e sin (2 A) = 2 sin (A) cos (A)