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Popolare Trigonometria >

dimostrare 1/(1+sin(t))=(sec(t)-tan(t))sec(t)

Soluzione

dimostrare

\frac{1}{1 + sin ( t )} = (sec (t) - tan (t)) sec (t)

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

\frac{1}{1 + sin ( t )} = (sec (t) - tan (t)) sec (t)

Manipolando il lato destro

(sec (t) - tan (t)) sec (t)

Esprimere con sen e cos

(sec (t) - tan (t)) sec (t)

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (\frac{1}{cos ( t )} - tan (t)) \frac{1}{cos ( t )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (\frac{1}{cos ( t )} - \frac{sin ( t )}{cos ( t )}) \frac{1}{cos ( t )}

Semplifica

(\frac{1}{cos ( t )} - \frac{sin ( t )}{cos ( t )}) \frac{1}{cos ( t )} : \frac{1 - sin ( t )}{cos ^{2} ( t )}

(\frac{1}{cos ( t )} - \frac{sin ( t )}{cos ( t )}) \frac{1}{cos ( t )}

Combinare le frazioni

\frac{1}{cos ( t )} - \frac{sin ( t )}{cos ( t )} : \frac{1 - sin ( t )}{cos ( t )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( t )}{cos ( t )}

= (\frac{- sin ( t ) + 1}{cos ( t )}) \frac{1}{cos ( t )}

Rimuovi le parentesi:

(a) = a

= \frac{1 - sin ( t )}{cos ( t )} \cdot \frac{1}{cos ( t )}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{( 1 - sin ( t ) ) \cdot 1}{cos ( t ) cos ( t )}

(1 - sin (t)) \cdot 1 = 1 - sin (t)

(1 - sin (t)) \cdot 1

Moltiplicare:

(1 - sin (t)) \cdot 1 = (1 - sin (t))

= (1 - sin (t))

Rimuovi le parentesi:

(a) = a

= 1 - sin (t)

= \frac{1 - sin ( t )}{cos ( t ) cos ( t )}

cos (t) cos (t) = cos^{2} (t)

cos (t) cos (t)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (t) cos (t) = cos^{1 + 1} (t)

= cos^{1 + 1} (t)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (t)

= \frac{1 - sin ( t )}{cos ^{2} ( t )}

= \frac{1 - sin ( t )}{cos ^{2} ( t )}

= \frac{1 - sin ( t )}{cos ^{2} ( t )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{1 - sin ( t )}{cos ^{2} ( t )}

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ( t )}{1 - sin ^{2} ( t )}

Semplifica

\frac{1 - sin ( t )}{1 - sin ^{2} ( t )} : \frac{1}{sin ( t ) + 1}

\frac{1 - sin ( t )}{1 - sin ^{2} ( t )}

Fattorizza

1 - sin^{2} (t) : - (sin (t) + 1) (sin (t) - 1)

1 - sin^{2} (t)

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (sin^{2} (t) - 1)

Fattorizza

sin^{2} (t) - 1 : (sin (t) + 1) (sin (t) - 1)

sin^{2} (t) - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= sin^{2} (t) - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (t) - 1^{2} = (sin (t) + 1) (sin (t) - 1)

= (sin (t) + 1) (sin (t) - 1)

= - (sin (t) + 1) (sin (t) - 1)

= - \frac{1 - sin ( t )}{( sin ( t ) + 1 ) ( sin ( t ) - 1 )}

Cancellare

- \frac{1 - sin ( t )}{( sin ( t ) + 1 ) ( sin ( t ) - 1 )} : \frac{1}{sin ( t ) + 1}

- \frac{1 - sin ( t )}{( sin ( t ) + 1 ) ( sin ( t ) - 1 )}

sin (t) - 1 = - (- sin (t) + 1)

= - \frac{- sin ( t ) + 1}{- ( sin ( t ) + 1 ) ( - sin ( t ) + 1 )}

Affinare

= \frac{1 - sin ( t )}{( sin ( t ) + 1 ) ( - sin ( t ) + 1 )}

Cancella il fattore comune:

1 - sin (t)

= \frac{1}{sin ( t ) + 1}

= \frac{1}{sin ( t ) + 1}

= \frac{1}{sin ( t ) + 1}

= \frac{1}{sin ( t ) + 1}

= \frac{1}{1 + sin ( t )}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare sin(pi/3)=(sqrt(3))/2

p ro v e sin (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}

dimostrare cos(t)sec(pi/2-t)=cot(t)

p ro v e cos (t) sec (\frac{π}{2} - t) = cot (t)

dimostrare ((1-cos(2x)))/(sin(2x))=tan(x)

p ro v e \frac{( 1 - cos ( 2 x ) )}{sin ( 2 x )} = tan (x)

dimostrare cot^2(α)=cos^2(α)+(cot(α)cos(α))^2

p ro v e cot^{2} (α) = cos^{2} (α) + (cot (α) cos (α))^{2}

dimostrare cos^4(β)-sin^4(β)=2cos^2(β)-1

p ro v e cos^{4} (β) - sin^{4} (β) = 2 cos^{2} (β) - 1