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provar (sin^2(-x))/(tan^2(x))=cos^2(x)

Solução

provar

\frac{sin ^{2} ( - x )}{tan ^{2} ( x )} = cos^{2} (x)

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{sin ^{2} ( - x )}{tan ^{2} ( x )} = cos^{2} (x)

Manipular o lado direito

\frac{sin ^{2} ( - x )}{tan ^{2} ( x )}

Use a identidade de ângulo negativo:

sin (- x) = - sin (x)

= \frac{( - sin ( x ) ) ^{2}}{tan ^{2} ( x )}

Expresar com seno, cosseno

\frac{( - sin ( x ) ) ^{2}}{tan ^{2} ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{( - sin ( x ) ) ^{2}}{( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}

Simplificar

\frac{( - sin ( x ) ) ^{2}}{( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}} : cos^{2} (x)

\frac{( - sin ( x ) ) ^{2}}{( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}

(- sin (x))^{2} = sin^{2} (x)

(- sin (x))^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- sin (x))^{2} = sin^{2} (x)

= sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{\frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Eliminar o fator comum:

sin^{2} (x)

= cos^{2} (x)

= cos^{2} (x)

= cos^{2} (x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e sin (x) cos (x) + sin^{3} (x) sec (x) = tan (x)

p ro v e - tan (θ) cos (θ) = sin (- θ)

p ro v e sec (t) - \frac{cos ( t )}{1 + sin ( t )} = tan (t)

p ro v e sin^{2} (x) csc^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

p ro v e (sec (u) - tan (u)) (csc (u) + 1) = cot (u)