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证明 (cot(θ)-csc(θ))/(cot(θ)+csc(θ))=(1-2cos(θ)+cos^2(θ))/(-sin^2(θ))

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解答

证明 cot(θ)+csc(θ)cot(θ)−csc(θ)​=−sin2(θ)1−2cos(θ)+cos2(θ)​

解答

真
求解步骤
cot(θ)+csc(θ)cot(θ)−csc(θ)​=−sin2(θ)1−2cos(θ)+cos2(θ)​
调整左侧cot(θ)+csc(θ)cot(θ)−csc(θ)​
用 sin, cos 表示
cot(θ)+csc(θ)cot(θ)−csc(θ)​
使用基本三角恒等式: cot(x)=sin(x)cos(x)​=sin(θ)cos(θ)​+csc(θ)sin(θ)cos(θ)​−csc(θ)​
使用基本三角恒等式: csc(x)=sin(x)1​=sin(θ)cos(θ)​+sin(θ)1​sin(θ)cos(θ)​−sin(θ)1​​
化简 sin(θ)cos(θ)​+sin(θ)1​sin(θ)cos(θ)​−sin(θ)1​​:cos(θ)+1cos(θ)−1​
sin(θ)cos(θ)​+sin(θ)1​sin(θ)cos(θ)​−sin(θ)1​​
合并分式 sin(θ)cos(θ)​+sin(θ)1​:sin(θ)cos(θ)+1​
使用法则 ca​±cb​=ca±b​=sin(θ)cos(θ)+1​
=sin(θ)cos(θ)+1​sin(θ)cos(θ)​−sin(θ)1​​
合并分式 sin(θ)cos(θ)​−sin(θ)1​:sin(θ)cos(θ)−1​
使用法则 ca​±cb​=ca±b​=sin(θ)cos(θ)−1​
=sin(θ)cos(θ)+1​sin(θ)cos(θ)−1​​
分式相除: dc​ba​​=b⋅ca⋅d​=sin(θ)(cos(θ)+1)(cos(θ)−1)sin(θ)​
约分:sin(θ)=cos(θ)+1cos(θ)−1​
=cos(θ)+1cos(θ)−1​
=1+cos(θ)−1+cos(θ)​
调整右侧−sin2(θ)1−2cos(θ)+cos2(θ)​
使用三角恒等式改写
−sin2(θ)1−2cos(θ)+cos2(θ)​
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=−(1−cos2(θ))1−2cos(θ)+cos2(θ)​
化简 −(1−cos2(θ))1−2cos(θ)+cos2(θ)​:cos(θ)+1cos(θ)−1​
−(1−cos2(θ))1−2cos(θ)+cos2(θ)​
使用分式法则: −ba​=−ba​=−(1−cos2(θ))1−2cos(θ)+cos2(θ)​
去除括号: (a)=a=−1−cos2(θ)1−2cos(θ)+cos2(θ)​
消掉 1−cos2(θ)1−2cos(θ)+cos2(θ)​:−cos(θ)+1cos(θ)−1​
1−cos2(θ)1−2cos(θ)+cos2(θ)​
分解 1−2cos(θ)+cos2(θ):(cos(θ)−1)2
1−2cos(θ)+cos2(θ)
改写成标准形式 ax2+bx+c=cos2(θ)−2cos(θ)+1
将 cos2(θ)−2cos(θ)+1 改写为 cos2(θ)−2cos(θ)⋅1+12
cos2(θ)−2cos(θ)+1
将 1 改写为 12=cos2(θ)−2cos(θ)+12
将 2cos(θ) 改写为 2cos(θ)⋅1=cos2(θ)−2cos(θ)⋅1+12
=cos2(θ)−2cos(θ)⋅1+12
使用完全平方公式: (a−b)2=a2−2ab+b2a=cos(θ),b=1=(cos(θ)−1)2
=1−cos2(θ)(cos(θ)−1)2​
分解 1−cos2(θ):−(cos(θ)+1)(cos(θ)−1)
1−cos2(θ)
因式分解出通项 −1=−(cos2(θ)−1)
分解 cos2(θ)−1:(cos(θ)+1)(cos(θ)−1)
cos2(θ)−1
将 1 改写为 12=cos2(θ)−12
使用平方差公式: x2−y2=(x+y)(x−y)cos2(θ)−12=(cos(θ)+1)(cos(θ)−1)=(cos(θ)+1)(cos(θ)−1)
=−(cos(θ)+1)(cos(θ)−1)
=−(cos(θ)+1)(cos(θ)−1)(cos(θ)−1)2​
约分:cos(θ)−1=−cos(θ)+1cos(θ)−1​
=−(−cos(θ)+1cos(θ)−1​)
使用法则 −(−a)=a=cos(θ)+1cos(θ)−1​
=cos(θ)+1cos(θ)−1​
=cos(θ)+1cos(θ)−1​
我们已展示,在两侧可以有相同的形式⇒真

流行的例子

证明 sin^2(θ/2)=(csc(θ)-cot(θ))/(2csc(θ))provesin2(2θ​)=2csc(θ)csc(θ)−cot(θ)​证明 cos(2x)=(cot^2(x)-1)/(cot^2(x)+1)provecos(2x)=cot2(x)+1cot2(x)−1​证明 sin^2(x)-2cos^2(x)=3sin^2(x)-2provesin2(x)−2cos2(x)=3sin2(x)−2证明 tan(a)=tan(a)csc^2(a)+cot(-a)provetan(a)=tan(a)csc2(a)+cot(−a)证明 7csc^2(x)-5cot^2(x)=2csc^2(x)+5prove7csc2(x)−5cot2(x)=2csc2(x)+5
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