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prouver cos^2(θ/2)=(sec(θ)+1)/(2sec(θ))

Solution

prouver

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) + 1}{2 sec ( θ )}

vrai

étapes des solutions

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) + 1}{2 sec ( θ )}

Soit :

u = \frac{θ}{2}

cos^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{2 sec ( 2 u )}

Prouver que

cos^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{2 sec ( 2 u )} :

vrai

cos^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{2 sec ( 2 u )}

En manipulant le côté droit

\frac{sec ( 2 u ) + 1}{2 sec ( 2 u )}

Exprimer avec sinus, cosinus

\frac{1 + sec ( 2 u )}{2 sec ( 2 u )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

Simplifier

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}} : \frac{cos ( 2 u ) + 1}{2}

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

Multiplier

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 u )} : \frac{2}{cos ( 2 u )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 u )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{cos ( 2 u )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{cos ( 2 u )}

= \frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{2}{c o s ( 2 u )}}

Relier

1 + \frac{1}{cos ( 2 u )} : \frac{cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )}

= \frac{1 \cdot cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )} + \frac{1}{cos ( 2 u )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

Multiplier:

1 \cdot cos (2 u) = cos (2 u)

= \frac{cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

= \frac{\frac{c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{2}{c o s ( 2 u )}}

Diviser des fractions:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) cos ( 2 u )}{cos ( 2 u ) \cdot 2}

Annuler le facteur commun :

cos (2 u)

= \frac{cos ( 2 u ) + 1}{2}

= \frac{1 + cos ( 2 u )}{2}

= \frac{1 + cos ( 2 u )}{2}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{1 + cos ( 2 u )}{2}

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{2}

Simplifier

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{2} : cos^{2} (u)

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{2}

1 + 2 cos^{2} (u) - 1 = 2 cos^{2} (u)

1 + 2 cos^{2} (u) - 1

Grouper comme termes

= 2 cos^{2} (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (u)

= \frac{2 cos ^{2} ( u )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= cos^{2} (u)

= cos^{2} (u)

= cos^{2} (u)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Par conséquent

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) + 1}{2 sec ( θ )}

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

p ro v e cos^{2} (x) = (cos (x))^{2}

p ro v e 2 cos^{2} (θ) tan (θ) = sin (2 θ)

p ro v e sin^{5} (x) = (1 - cos^{2} (x))^{2} sin (x)

p ro v e cos (\frac{3 π}{2} - x) = - sin (x)

p ro v e cot (t) + \frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )} = csc (t)