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verificar sin(x)tan(x/2)=1-cos(x)

Solución

verificar

sin (x) tan (\frac{x}{2}) = 1 - cos (x)

Verdadero

Pasos de solución

sin (x) tan (\frac{x}{2}) = 1 - cos (x)

Sea:

u = \frac{x}{2}

sin (2 u) tan (u) = 1 - cos (2 u)

Verificar

sin (2 u) tan (u) = 1 - cos (2 u) :

Verdadero

sin (2 u) tan (u) = 1 - cos (2 u)

Manipular el lado derecho

sin (2 u) tan (u)

Expresar con seno, coseno

sin (2 u) tan (u)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= sin (2 u) \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Simplificar

sin (2 u) \frac{sin ( u )}{cos ( u )} : \frac{sin ( u ) sin ( 2 u )}{cos ( u )}

sin (2 u) \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( u ) sin ( 2 u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( 2 u ) sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( 2 u ) sin ( u )}{cos ( u )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{sin ( 2 u ) sin ( u )}{cos ( u )}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 sin ( u ) cos ( u ) sin ( u )}{cos ( u )}

Simplificar

\frac{2 sin ( u ) cos ( u ) sin ( u )}{cos ( u )} : 2 sin^{2} (u)

\frac{2 sin ( u ) cos ( u ) sin ( u )}{cos ( u )}

2 sin (u) cos (u) sin (u) = 2 sin^{2} (u) cos (u)

2 sin (u) cos (u) sin (u)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (u) sin (u) = sin^{1 + 1} (u)

= 2 cos (u) sin^{1 + 1} (u)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 cos (u) sin^{2} (u)

= \frac{2 sin ^{2} ( u ) cos ( u )}{cos ( u )}

Eliminar los terminos comunes:

cos (u)

= 2 sin^{2} (u)

= 2 sin^{2} (u)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

- 2 sin^{2} (x) = cos (2 x) - 1

= - (cos (2 u) - 1)

Simplificar

- (cos (2 u) - 1) : - cos (2 u) + 1

- (cos (2 u) - 1)

Poner los parentesis

= - (cos (2 u)) - (- 1)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - cos (2 u) + 1

= - cos (2 u) + 1

= - cos (2 u) + 1

= 1 - cos (2 u)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Por lo tanto

sin (x) tan (\frac{x}{2}) = 1 - cos (x)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

cot (t) + \frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )} = csc (t)

sin (π + θ) = - sin (θ)

\frac{tan ( x ) cot ( x )}{sin ( x )} = csc (x)

csc^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{2 sec ( θ )}{sec ( θ ) - 1}

csc^{2} (x) \cdot tan^{2} (x) - 1 = tan^{2} (x)