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verificar 1/(1+sin(x))+1/(1-sin(x))=2+2tan^2(x)

Solución

verificar

\frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )} = 2 + 2 tan^{2} (x)

Solución

Verdadero

Pasos de solución

\frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )} = 2 + 2 tan^{2} (x)

Manipular el lado derecho

\frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )}

Simplificar

\frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )} : \frac{2}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

\frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )}

Mínimo común múltiplo de

1 + sin (x), 1 - sin (x) : (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

1 + sin (x), 1 - sin (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

1 + sin (x)

1 - sin (x)

= (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1}{1 + sin ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

- sin (x) + 1

\frac{1}{1 + sin ( x )} = \frac{1 \cdot ( - sin ( x ) + 1 )}{( 1 + sin ( x ) ) ( - sin ( x ) + 1 )} = \frac{- sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Para

\frac{1}{1 - sin ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (x) + 1

\frac{1}{1 - sin ( x )} = \frac{1 \cdot ( sin ( x ) + 1 )}{( 1 - sin ( x ) ) ( sin ( x ) + 1 )} = \frac{sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{- sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )} + \frac{sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ( x ) + 1 + sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

- sin (x) + 1 + sin (x) + 1 = 2

- sin (x) + 1 + sin (x) + 1

Agrupar términos semejantes

= - sin (x) + sin (x) + 1 + 1

Sumar elementos similares:

- sin (x) + sin (x) = 0

= 1 + 1

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2

= \frac{2}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{2}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Expandir

(1 + sin (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{2}{1 - sin ^{2} ( x )}

Utilizar la identidad pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

Manipular el lado izquierdo

2 + 2 tan^{2} (x)

Factorizar

2 + 2 tan^{2} (x) : 2 (1 + tan^{2} (x))

2 + 2 tan^{2} (x)

Reescribir como

= 2 \cdot 1 + 2 tan^{2} (x)

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 + tan^{2} (x))

= (1 + tan^{2} (x)) \cdot 2

Expresar con seno, coseno

(1 + tan^{2} (x)) \cdot 2

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) \cdot 2

Simplificar

(1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) \cdot 2 : \frac{2 ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{cos ^{2} ( x )}

(1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 2 (\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 1)

Simplificar

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

en una fracción:

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= 2 \cdot \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) \cdot 2}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) \cdot 2}{cos ^{2} ( x )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) \cdot 2}{cos ^{2} ( x )}

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 \cdot 2}{cos ^{2} ( x )}

Simplificar

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar tan(a)=(sin(a))/(cos(a))verificar

tan (a) = \frac{sin ( a )}{cos ( a )}

verificar sec(2x)=(sec^2(x))/(1-tan^2(x))verificar

sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

verificar 1-(cos^2(a))/(1+sin(a))=sin(a)verificar

1 - \frac{cos ^{2} ( a )}{1 + sin ( a )} = sin (a)

verificar (tan(x)csc(x))/(sec(x))=1 verificar

\frac{tan ( x ) csc ( x )}{sec ( x )} = 1

verificar (sin(3x)-sin(5x))/(2cos(4x))=-sin(x)verificar

\frac{sin ( 3 x ) - sin ( 5 x )}{2 cos ( 4 x )} = - sin (x)