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Populaire Trigonométrie >

prouver sqrt(2)cos(x-pi/4)=cos(x)+sin(x)

Solution

prouver

2 cos (x - \frac{π}{4}) = cos (x) + sin (x)

Solution

vrai

étapes des solutions

2 cos (x - \frac{π}{4}) = cos (x) + sin (x)

En manipulant le côté gauche

2 cos (x - \frac{π}{4})

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cos (x - \frac{π}{4})

Utiliser l'identité de la différence de l'angle :

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= cos (x) cos (\frac{π}{4}) + sin (x) sin (\frac{π}{4})

Simplifier

cos (x) cos (\frac{π}{4}) + sin (x) sin (\frac{π}{4}) : \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

cos (x) cos (\frac{π}{4}) + sin (x) sin (\frac{π}{4})

cos (x) cos (\frac{π}{4}) = \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (x) cos (\frac{π}{4})

Simplifier

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

Utiliser l'identité triviale suivante:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x)

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

sin (x) sin (\frac{π}{4}) = \frac{2 sin ( x )}{2}

sin (x) sin (\frac{π}{4})

Simplifier

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

Utiliser l'identité triviale suivante:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x)

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x )}{2} + \frac{2 sin ( x )}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

= 2 \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

Simplifier

2 \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2} : cos (x) + sin (x)

2 \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 2 cos ( x ) + 2 sin ( x ) ) 2}{2}

Annuler

\frac{( 2 cos ( x ) + 2 sin ( x ) ) 2}{2} : \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

\frac{( 2 cos ( x ) + 2 sin ( x ) ) 2}{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} ( 2 cos ( x ) + 2 sin ( x ) )}{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{1}} = \frac{1}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Soustraire les nombres :

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Appliquer la règle des radicaux:

a^{\frac{1}{n}} = n a

2^{\frac{1}{2}} = 2

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

Factoriser le terme commun

2

= \frac{2 ( cos ( x ) + sin ( x ) )}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= cos (x) + sin (x)

= cos (x) + sin (x)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Exemples populaires

prouver (cos(u))/(1-sin(u))=sec(u)+tan(u)

p ro v e \frac{cos ( u )}{1 - sin ( u )} = sec (u) + tan (u)

prouver cos(x-(3pi)/2)=-sin(x)

p ro v e cos (x - \frac{3 π}{2}) = - sin (x)

prouver sin^2(x)sec^2(x)+1=sec^2(x)

p ro v e sin^{2} (x) sec^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

prouver cos(a+b)-cos(a-b)=-2sin(a)sin(b)

p ro v e cos (a + b) - cos (a - b) = - 2 sin (a) sin (b)

prouver (tan(β)+sec(β))(1-sin(β))=cos(β)

p ro v e (tan (β) + sec (β)) (1 - sin (β)) = cos (β)