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beweisen cos^2(x)(1-sec^2(x))=-sin^2(x)

Lösung

beweisen

cos^{2} (x) (1 - sec^{2} (x)) = - sin^{2} (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

cos^{2} (x) (1 - sec^{2} (x)) = - sin^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

cos^{2} (x) (1 - sec^{2} (x))

Drücke mit sin, cos aus

(1 - sec^{2} (x)) cos^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (1 - (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) cos^{2} (x)

Vereinfache

(1 - (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) cos^{2} (x) : cos^{2} (x) - 1

(1 - (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) cos^{2} (x)

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= cos^{2} (x) (- \frac{1}{cos ^{2} ( x )} + 1)

Füge

1 - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

1 - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} cos^{2} (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) - 1 ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) - 1

= cos^{2} (x) - 1

= - 1 + cos^{2} (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - sin^{2} (x)

= - sin^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan^{2} (θ) csc^{2} (θ) = sec^{2} (θ)

p ro v e (1 + tan (x)) (1 - cot (x)) = tan (x) - cot (x)

p ro v e 8 - 4 csc^{2} (z) = 4 - 4 cot^{2} (z)

p ro v e 3 sec^{2} (x) - 2 tan^{2} (x) - 4 = 0

p ro v e tan (θ) cot (θ) - 1 = 1 - sec (θ) cos (θ)