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Beliebt Trigonometrie >

beweisen sin^2(x/2)=(sec(x)-1)/(2sec(x))

Lösung

beweisen

sin^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sec ( x ) - 1}{2 sec ( x )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

sin^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sec ( x ) - 1}{2 sec ( x )}

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

sin^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) - 1}{2 sec ( 2 u )}

Beweise

sin^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) - 1}{2 sec ( 2 u )} :

Wahr

sin^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) - 1}{2 sec ( 2 u )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{sec ( 2 u ) - 1}{2 sec ( 2 u )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 1 + sec ( 2 u )}{2 sec ( 2 u )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

Vereinfache

\frac{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}} : \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{2}

\frac{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 u )} : \frac{2}{cos ( 2 u )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 u )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{cos ( 2 u )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{cos ( 2 u )}

= \frac{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{2}{c o s ( 2 u )}}

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

zusammen:

\frac{- cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

- 1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )}

= - \frac{1 \cdot cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )} + \frac{1}{cos ( 2 u )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (2 u) = cos (2 u)

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

= \frac{\frac{- c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{2}{c o s ( 2 u )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - cos ( 2 u ) + 1 ) cos ( 2 u )}{cos ( 2 u ) \cdot 2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (2 u)

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{2}

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{2}

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{2}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ( 2 u )}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2}

Vereinfache

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2} : sin^{2} (u)

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2}

Multipliziere aus

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= sin^{2} (u)

= sin^{2} (u)

= sin^{2} (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Deshalb

sin^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sec ( x ) - 1}{2 sec ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cos(x)-cos(x)=0

p ro v e cos (x) - cos (x) = 0

beweisen (csc^2(θ)-2)/(csc^2(θ))=cos(2θ)

p ro v e \frac{csc ^{2} ( θ ) - 2}{csc ^{2} ( θ )} = cos (2 θ)

beweisen sin(-x)cos(pi/2-x)=(cos(2x)-1)/2

p ro v e sin (- x) cos (\frac{π}{2} - x) = \frac{cos ( 2 x ) - 1}{2}

beweisen cos(b)+sin(b)tan(b)=sec(b)

p ro v e cos (b) + sin (b) tan (b) = sec (b)

beweisen 2sin(2θ)(1-2sin^2(θ))=sin(4θ)

p ro v e 2 sin (2 θ) (1 - 2 sin^{2} (θ)) = sin (4 θ)