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beweisen (cos(β))/(1-sin(β))=sec(β)+tan(β)

Lösung

beweisen

\frac{cos ( β )}{1 - sin ( β )} = sec (β) + tan (β)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cos ( β )}{1 - sin ( β )} = sec (β) + tan (β)

Manipuliere die rechte Seite

sec (β) + tan (β)

Drücke mit sin, cos aus

sec (β) + tan (β)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( β )} + tan (β)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( β )} + \frac{sin ( β )}{cos ( β )}

Vereinfache

\frac{1}{cos ( β )} + \frac{sin ( β )}{cos ( β )} : \frac{1 + sin ( β )}{cos ( β )}

\frac{1}{cos ( β )} + \frac{sin ( β )}{cos ( β )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( β )}{cos ( β )}

= \frac{1 + sin ( β )}{cos ( β )}

= \frac{1 + sin ( β )}{cos ( β )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Multipliziere mit

\frac{1 - sin ( β )}{1 - sin ( β )}

= \frac{( 1 + sin ( β ) ) ( 1 - sin ( β ) )}{( 1 - sin ( β ) ) cos ( β )}

Multipliziere aus

(1 + sin (β)) (1 - sin (β)) : 1 - sin^{2} (β)

(1 + sin (β)) (1 - sin (β))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (β)

= 1^{2} - sin^{2} (β)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (β)

= \frac{1 - sin ^{2} ( β )}{( 1 - sin ( β ) ) cos ( β )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (β) + sin^{2} (β)

1 - sin^{2} (β) = cos^{2} (β)

= \frac{cos ^{2} ( β )}{( 1 - sin ( β ) ) cos ( β )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (β)

= \frac{cos ( β )}{1 - sin ( β )}

= \frac{cos ( β )}{1 - sin ( β )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan^{2} (y) - sin^{2} (y) = tan^{2} (y) sin^{2} (y)

p ro v e sin (θ) (1 + cot^{2} (θ)) = csc (θ)

p ro v e 5 + cot^{2} (x) = 4 + csc^{2} (x)

p ro v e sin^{2} (2 x) = \frac{1 - cos ( 4 x )}{2}

p ro v e cot (2 θ) = \frac{csc ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2 cos ( θ )}