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provar cot(2θ)=(csc(θ)-2sin(θ))/(2cos(θ))

Solução

provar

cot (2 θ) = \frac{csc ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2 cos ( θ )}

Verdadeiro

Passos da solução

cot (2 θ) = \frac{csc ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2 cos ( θ )}

Manipular o lado esquerdo

\frac{csc ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2 cos ( θ )}

Expresar com seno, cosseno

\frac{csc ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2 cos ( θ )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{1}{s i n ( θ )} - 2 sin ( θ )}{2 cos ( θ )}

Simplificar

\frac{\frac{1}{s i n ( θ )} - 2 sin ( θ )}{2 cos ( θ )} : \frac{1 - 2 sin ^{2} ( θ )}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{\frac{1}{s i n ( θ )} - 2 sin ( θ )}{2 cos ( θ )}

Simplificar

\frac{1}{sin ( θ )} - 2 sin (θ)

em uma fração:

\frac{1 - 2 sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} - 2 sin (θ)

Converter para fração:

2 sin (θ) = \frac{2 sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1}{sin ( θ )} - \frac{2 sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 2 sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

1 - 2 sin (θ) sin (θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

1 - 2 sin (θ) sin (θ)

2 sin (θ) sin (θ) = 2 sin^{2} (θ)

2 sin (θ) sin (θ)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= 2 sin^{1 + 1} (θ)

Somar:

1 + 1 = 2

= 2 sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin^{2} (θ)

= \frac{1 - 2 sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{\frac{1 - 2 s i n ^{2} ( θ )}{s i n ( θ )}}{2 cos ( θ )}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1 - 2 sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) \cdot 2 cos ( θ )}

= \frac{1 - 2 sin ^{2} ( θ )}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{1 - 2 sin ^{2} ( θ )}{2 cos ( θ ) sin ( θ )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{1 - 2 sin ^{2} ( θ )}{2 cos ( θ ) sin ( θ )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 θ )}{2 cos ( θ ) sin ( θ )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

= \frac{cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (2 θ)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e sin^{2} (θ) sec^{2} (θ) csc^{2} (θ) = sec^{2} (θ)

p ro v e \frac{csc ^{2} ( x )}{cot ( x )} = sec (x) csc (x)

p ro v e \frac{cos ( A )}{1 + sin ( A )} + \frac{cos ( A )}{1 - sin ( A )} = 2 sec (A)

p ro v e cot (\frac{x}{2}) = \frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )}

p ro v e - tan (y) + sec (y) = \frac{cos ( y )}{1 + sin ( y )}