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人気のある三角関数 >

証明する tan(2x)= 1/(1-tan(x))-1/(1+tan(x))

解

証明する

tan (2 x) = \frac{1}{1 - tan ( x )} - \frac{1}{1 + tan ( x )}

解

真

解答ステップ

tan (2 x) = \frac{1}{1 - tan ( x )} - \frac{1}{1 + tan ( x )}

右側を操作する

\frac{1}{1 - tan ( x )} - \frac{1}{1 + tan ( x )}

簡素化

- \frac{1}{1 + tan ( x )} + \frac{1}{1 - tan ( x )} : \frac{2 tan ( x )}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )}

- \frac{1}{1 + tan ( x )} + \frac{1}{1 - tan ( x )}

以下の最小公倍数:

1 + tan (x), 1 - tan (x) : (tan (x) + 1) (- tan (x) + 1)

1 + tan (x), 1 - tan (x)

最小公倍数 (LCM)

1 + tan (x)

または以下のいずれかに現れる因数で構成された式を計算する:

1 - tan (x)

= (tan (x) + 1) (- tan (x) + 1)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

(tan (x) + 1) (- tan (x) + 1)

\frac{1}{1 + tan ( x )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

- tan (x) + 1

\frac{1}{1 + tan ( x )} = \frac{1 \cdot ( - tan ( x ) + 1 )}{( 1 + tan ( x ) ) ( - tan ( x ) + 1 )} = \frac{- tan ( x ) + 1}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )}

\frac{1}{1 - tan ( x )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

tan (x) + 1

\frac{1}{1 - tan ( x )} = \frac{1 \cdot ( tan ( x ) + 1 )}{( 1 - tan ( x ) ) ( tan ( x ) + 1 )} = \frac{tan ( x ) + 1}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )}

= - \frac{- tan ( x ) + 1}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )} + \frac{tan ( x ) + 1}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- ( - tan ( x ) + 1 ) + tan ( x ) + 1}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )}

拡張

- (- tan (x) + 1) + tan (x) + 1 : 2 tan (x)

- (- tan (x) + 1) + tan (x) + 1

- (- tan (x) + 1) : tan (x) - 1

- (- tan (x) + 1)

括弧を分配する

= - (- tan (x)) - (1)

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a, - (a) = - a

= tan (x) - 1

= tan (x) - 1 + tan (x) + 1

簡素化

tan (x) - 1 + tan (x) + 1 : 2 tan (x)

tan (x) - 1 + tan (x) + 1

条件のようなグループ

= tan (x) + tan (x) - 1 + 1

類似した元を足す:

tan (x) + tan (x) = 2 tan (x)

= 2 tan (x) - 1 + 1

- 1 + 1 = 0

= 2 tan (x)

= 2 tan (x)

= \frac{2 tan ( x )}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )}

= \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

拡張

\frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} : \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

\frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

拡張

(1 + tan (x)) (1 - tan (x)) : 1 - tan^{2} (x)

(1 + tan (x)) (1 - tan (x))

2乗の差の公式を適用する:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = tan (x)

= 1^{2} - tan^{2} (x)

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - tan^{2} (x)

= \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

2倍角の公式を使用:

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} = tan (2 x)

= tan (2 x)

= tan (2 x)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する sin(2x)=(2cot(x))/(csc^2(x))

p ro v e sin (2 x) = \frac{2 cot ( x )}{csc ^{2} ( x )}

証明する 2sin(θ)cos(θ)=sin(2θ)

p ro v e 2 sin (θ) cos (θ) = sin (2 θ)

証明する (1+tan^2(x))/(tan(x))=sec(x)csc(x)

p ro v e \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{tan ( x )} = sec (x) csc (x)

証明する (sec^4(α)-1)/(tan^2(α))=sec^2(α)+1

p ro v e \frac{sec ^{4} ( α ) - 1}{tan ^{2} ( α )} = sec^{2} (α) + 1

証明する 2sin(x)=(4cos(x)-1)/(tan(x))

p ro v e 2 sin (x) = \frac{4 cos ( x ) - 1}{tan ( x )}