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受欢迎的三角函数 >

证明 1/(1-sin(β))+1/(1+sin(β))=2sec^2(β)

解答

证明

\frac{1}{1 - sin ( β )} + \frac{1}{1 + sin ( β )} = 2 sec^{2} (β)

解答

真

求解步骤

\frac{1}{1 - sin ( β )} + \frac{1}{1 + sin ( β )} = 2 sec^{2} (β)

调整左侧

\frac{1}{1 - sin ( β )} + \frac{1}{1 + sin ( β )}

化简

\frac{1}{1 + sin ( β )} + \frac{1}{1 - sin ( β )} : \frac{2}{( sin ( β ) + 1 ) ( - sin ( β ) + 1 )}

\frac{1}{1 + sin ( β )} + \frac{1}{1 - sin ( β )}

1 + sin (β), 1 - sin (β)

的最小公倍数:

(sin (β) + 1) (- sin (β) + 1)

1 + sin (β), 1 - sin (β)

最小公倍数 (LCM)

计算出由出现在

1 + sin (β)

或

1 - sin (β)

中的因子组成的表达式

= (sin (β) + 1) (- sin (β) + 1)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

(sin (β) + 1) (- sin (β) + 1)

对于

\frac{1}{1 + sin ( β )} :

将分母和分子乘以

- sin (β) + 1

\frac{1}{1 + sin ( β )} = \frac{1 \cdot ( - sin ( β ) + 1 )}{( 1 + sin ( β ) ) ( - sin ( β ) + 1 )} = \frac{- sin ( β ) + 1}{( sin ( β ) + 1 ) ( - sin ( β ) + 1 )}

对于

\frac{1}{1 - sin ( β )} :

将分母和分子乘以

sin (β) + 1

\frac{1}{1 - sin ( β )} = \frac{1 \cdot ( sin ( β ) + 1 )}{( 1 - sin ( β ) ) ( sin ( β ) + 1 )} = \frac{sin ( β ) + 1}{( sin ( β ) + 1 ) ( - sin ( β ) + 1 )}

= \frac{- sin ( β ) + 1}{( sin ( β ) + 1 ) ( - sin ( β ) + 1 )} + \frac{sin ( β ) + 1}{( sin ( β ) + 1 ) ( - sin ( β ) + 1 )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ( β ) + 1 + sin ( β ) + 1}{( sin ( β ) + 1 ) ( - sin ( β ) + 1 )}

- sin (β) + 1 + sin (β) + 1 = 2

- sin (β) + 1 + sin (β) + 1

对同类项分组

= - sin (β) + sin (β) + 1 + 1

同类项相加:

- sin (β) + sin (β) = 0

= 1 + 1

数字相加:

1 + 1 = 2

= 2

= \frac{2}{( sin ( β ) + 1 ) ( - sin ( β ) + 1 )}

= \frac{2}{( 1 + sin ( β ) ) ( 1 - sin ( β ) )}

使用三角恒等式改写

\frac{2}{( 1 + sin ( β ) ) ( 1 - sin ( β ) )}

乘开

(1 + sin (β)) (1 - sin (β)) : 1 - sin^{2} (β)

(1 + sin (β)) (1 - sin (β))

使用平方差公式:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (β)

= 1^{2} - sin^{2} (β)

使用法则

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (β)

= \frac{2}{1 - sin ^{2} ( β )}

使用毕达哥拉斯恒等式:

1 = cos^{2} (β) + sin^{2} (β)

1 - sin^{2} (β) = cos^{2} (β)

= \frac{2}{cos ^{2} ( β )}

= \frac{2}{cos ^{2} ( β )}

使用三角恒等式改写

使用基本三角恒等式:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{2}{( \frac{1}{s e c ( β )} ) ^{2}}

化简

\frac{2}{( \frac{1}{s e c ( β )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( β )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( β )}

(\frac{1}{sec ( β )})^{2}

使用指数法则:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( β )}

使用法则

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( β )}

= \frac{2}{\frac{1}{s e c ^{2} ( β )}}

使用分式法则:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 sec ^{2} ( β )}{1}

使用法则

\frac{a}{1} = a

= 2 sec^{2} (β)

2 sec^{2} (β)

2 sec^{2} (β)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 cot^2(A)-cos^2(A)=cot^2(A)cos^2(A)

p ro v e cot^{2} (A) - cos^{2} (A) = cot^{2} (A) cos^{2} (A)

证明 cos^2(2t)+sin^2(2t)=1

p ro v e cos^{2} (2 t) + sin^{2} (2 t) = 1

证明 tan(x+pi/3)=(tan(x)+sqrt(3))/(1-sqrt(3)tan(x))

p ro v e tan (x + \frac{π}{3}) = \frac{tan ( x ) + 3}{1 - 3 tan ( x )}

证明 (1-2sin^2(x))/(1-sin^2(x))=1-tan(2x)

p ro v e \frac{1 - 2 sin ^{2} ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )} = 1 - tan (2 x)

证明 sin(x+y)-sin(x-y)=2sin(y)cos(x)

p ro v e sin (x + y) - sin (x - y) = 2 sin (y) cos (x)