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beweisen sin^5(x)=(1-2cos^2(x)+cos^4(x))(sin(x))

Lösung

beweisen

sin^{5} (x) = (1 - 2 cos^{2} (x) + cos^{4} (x)) (sin (x))

Wahr

Schritte zur Lösung

sin^{5} (x) = (1 - 2 cos^{2} (x) + cos^{4} (x)) sin (x)

Manipuliere die rechte Seite

(1 - 2 cos^{2} (x) + cos^{4} (x)) sin (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 - 2 cos^{2} (x) + cos^{4} (x)) sin (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

1 - 2 cos^{2} (x) + cos^{4} (x) = (1 - cos^{2} (x))^{2}

= (1 - cos^{2} (x))^{2} sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= (sin^{2} (x))^{2} sin (x)

Vereinfache

(sin^{2} (x))^{2} : sin^{4} (x)

(sin^{2} (x))^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= sin^{2 \cdot 2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= sin^{4} (x)

= sin^{4} (x) sin (x)

Vereinfache

sin^{4} (x) sin (x) : sin^{5} (x)

sin^{4} (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{4} (x) sin (x) = sin^{4 + 1} (x)

= sin^{4 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

4 + 1 = 5

= sin^{5} (x)

= sin^{5} (x)

= sin^{5} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin^{2} (\frac{t}{2}) = \frac{1 - cos ( t )}{2}

p ro v e sec (2 x) = \frac{1}{cos ( 2 x )}

p ro v e \frac{sin ( 2 θ )}{sin ( 4 θ )} = \frac{1}{2} sec (2 θ)

p ro v e cosh^{(2)} (x) - sinh^{(2)} (x) = 1

p ro v e sin (2 x) - cos (2 x) = 1 - 2 cos (2 x)