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Beliebt Trigonometrie >

beweisen cos(pi/(12))=(sqrt(2+\sqrt{3)})/2

Lösung

beweisen

cos (\frac{π}{12}) = \frac{2 + 3}{2}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (\frac{π}{12}) = \frac{2 + 3}{2}

Manipuliere die linke Seite

cos (\frac{π}{12})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (\frac{π}{12})

= cos (\frac{\frac{π}{6}}{2})

Verwende die Halbwinkel Identität:

cos (\frac{θ}{2}) = \frac{1 + cos ( θ )}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

Ersetze

θ

mit

\frac{θ}{2}

cos (θ) = 2 cos^{2} (\frac{θ}{2}) - 1

Tausche die Seiten

2 cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1 + cos (θ)

Teile beide Seiten durch

2

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 + cos ( θ ) )}{2}

Square root both sides

Choose the root sign according to the quadrant of

\frac{θ}{2}

range [0, \frac{π}{2}] [\frac{π}{2}, π] [π, \frac{3 π}{2}] [\frac{3 π}{2}, 2 π] quadrant I II III I V sin positive positive negative negative cos positive negative negative positive

cos (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 + cos ( θ ) )}{2}

\frac{1 + cos ( \frac{π}{6} )}{2} = \frac{2 + 3}{2}

\frac{1 + cos ( \frac{π}{6} )}{2}

\frac{1 + cos ( \frac{π}{6} )}{2} = \frac{2 + 3}{4}

\frac{1 + cos ( \frac{π}{6} )}{2}

1 + cos (\frac{π}{6}) = 1 + \frac{3}{2}

1 + cos (\frac{π}{6})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1 + \frac{3}{2}

= \frac{1 + \frac{3}{2}}{2}

Füge

1 + \frac{3}{2}

zusammen:

\frac{2 + 3}{2}

1 + \frac{3}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 + 3}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 + 3}{2}

= \frac{\frac{2 + 3}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 + 3}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 + 3}{4}

= \frac{2 + 3}{4}

Vereinfache

\frac{2 + 3}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2 + 3}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2 + 3}{2}

= \frac{2 + 3}{2}

= \frac{2 + 3}{2}

= \frac{2 + 3}{2}

= \frac{2 + 3}{2}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen tan(2u)=(2tan(u))/(1-tan^2(u))

p ro v e tan (2 u) = \frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

beweisen cot(pi/2-θ)=tan(θ)

p ro v e cot (\frac{π}{2} - θ) = tan (θ)

beweisen (1-cos^2(x))(csc(x))=sin(x)

p ro v e (1 - cos^{2} (x)) (csc (x)) = sin (x)

beweisen (sin(x+y))/(sin(x)cos(y))=1+cot(x)tan(y)

p ro v e \frac{sin ( x + y )}{sin ( x ) cos ( y )} = 1 + cot (x) tan (y)

beweisen sin^2(2x)= 1/2-1/2 cos(4x)

p ro v e sin^{2} (2 x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (4 x)