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人気のある三角関数 >

証明する 2csc^2(y)= 1/(1-cos(y))+1/(1+cos(y))

解

証明する

2 csc^{2} (y) = \frac{1}{1 - cos ( y )} + \frac{1}{1 + cos ( y )}

解

真

解答ステップ

2 csc^{2} (y) = \frac{1}{1 - cos ( y )} + \frac{1}{1 + cos ( y )}

右側を操作する

\frac{1}{1 - cos ( y )} + \frac{1}{1 + cos ( y )}

簡素化

\frac{1}{1 + cos ( y )} + \frac{1}{1 - cos ( y )} : \frac{2}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

\frac{1}{1 + cos ( y )} + \frac{1}{1 - cos ( y )}

以下の最小公倍数:

1 + cos (y), 1 - cos (y) : (cos (y) + 1) (- cos (y) + 1)

1 + cos (y), 1 - cos (y)

最小公倍数 (LCM)

1 + cos (y)

または以下のいずれかに現れる因数で構成された式を計算する:

1 - cos (y)

= (cos (y) + 1) (- cos (y) + 1)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

(cos (y) + 1) (- cos (y) + 1)

\frac{1}{1 + cos ( y )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

- cos (y) + 1

\frac{1}{1 + cos ( y )} = \frac{1 \cdot ( - cos ( y ) + 1 )}{( 1 + cos ( y ) ) ( - cos ( y ) + 1 )} = \frac{- cos ( y ) + 1}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

\frac{1}{1 - cos ( y )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos (y) + 1

\frac{1}{1 - cos ( y )} = \frac{1 \cdot ( cos ( y ) + 1 )}{( 1 - cos ( y ) ) ( cos ( y ) + 1 )} = \frac{cos ( y ) + 1}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

= \frac{- cos ( y ) + 1}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )} + \frac{cos ( y ) + 1}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( y ) + 1 + cos ( y ) + 1}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

- cos (y) + 1 + cos (y) + 1 = 2

- cos (y) + 1 + cos (y) + 1

条件のようなグループ

= - cos (y) + cos (y) + 1 + 1

類似した元を足す:

- cos (y) + cos (y) = 0

= 1 + 1

数を足す:

1 + 1 = 2

= 2

= \frac{2}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

= \frac{2}{( 1 + cos ( y ) ) ( 1 - cos ( y ) )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{2}{( 1 + cos ( y ) ) ( 1 - cos ( y ) )}

拡張

(1 + cos (y)) (1 - cos (y)) : 1 - cos^{2} (y)

(1 + cos (y)) (1 - cos (y))

2乗の差の公式を適用する:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = cos (y)

= 1^{2} - cos^{2} (y)

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - cos^{2} (y)

= \frac{2}{1 - cos ^{2} ( y )}

ピタゴラスの公式を使用する:

1 = cos^{2} (y) + sin^{2} (y)

1 - cos^{2} (y) = sin^{2} (y)

= \frac{2}{sin ^{2} ( y )}

= \frac{2}{sin ^{2} ( y )}

三角関数の公式を使用して書き換える

基本的な三角関数の公式を使用する:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{2}{( \frac{1}{c s c ( y )} ) ^{2}}

簡素化

\frac{2}{( \frac{1}{c s c ( y )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( y )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( y )}

(\frac{1}{csc ( y )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( y )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( y )}

= \frac{2}{\frac{1}{c s c ^{2} ( y )}}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 csc ^{2} ( y )}{1}

規則を適用

\frac{a}{1} = a

= 2 csc^{2} (y)

2 csc^{2} (y)

2 csc^{2} (y)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する cot(2x)=(cos(2x))/(sin(2x))

p ro v e cot (2 x) = \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

証明する sin(θ-pi/2)=-cos(θ)

p ro v e sin (θ - \frac{π}{2}) = - cos (θ)

証明する sec(x)-cos(x)=tan(x)*sin(x)

p ro v e sec (x) - cos (x) = tan (x) \cdot sin (x)

証明する cot(45)=(cos(45))/(sin(45))

p ro v e cot (4 5^{\circ}) = \frac{cos ( 4 5 ^{\circ} )}{sin ( 4 5 ^{\circ} )}

証明する sqrt((1-sin(x))/(1+sin(x)))=sec(x)-tan(x)

p ro v e \frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )} = sec (x) - tan (x)