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Popular Trigonometria >

provar tan(60)=(2tan(30))/(1-tan^2(30))

Solução

provar

tan (6 0^{\circ}) = \frac{2 tan ( 3 0 ^{\circ} )}{1 - tan ^{2} ( 3 0 ^{\circ} )}

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

tan (6 0^{\circ}) = \frac{2 tan ( 3 0 ^{\circ} )}{1 - tan ^{2} ( 3 0 ^{\circ} )}

Manipular o lado direito

tan (6 0^{\circ})

Simplificar

= 3

Manipular o lado esquerdo

\frac{2 tan ( 3 0 ^{\circ} )}{1 - tan ^{2} ( 3 0 ^{\circ} )}

Simplificar

\frac{2 tan ( 3 0 ^{\circ} )}{1 - tan ^{2} ( 3 0 ^{\circ} )} : 3

\frac{2 tan ( 3 0 ^{\circ} )}{1 - tan ^{2} ( 3 0 ^{\circ} )}

2 tan (3 0^{\circ}) = 2 \cdot \frac{3}{3}

2 tan (3 0^{\circ})

Simplificar

tan (3 0^{\circ}) : \frac{3}{3}

tan (3 0^{\circ})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

tan (3 0^{\circ}) = \frac{3}{3}

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

18 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= \frac{3}{3}

= 2 \cdot \frac{3}{3}

= \frac{2 \cdot \frac{3}{3}}{1 - tan ^{2} ( 3 0 ^{\circ} )}

1 - tan^{2} (3 0^{\circ}) = 1 - (\frac{3}{3})^{2}

1 - tan^{2} (3 0^{\circ})

Simplificar

tan (3 0^{\circ}) : \frac{3}{3}

tan (3 0^{\circ})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

tan (3 0^{\circ}) = \frac{3}{3}

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

18 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= \frac{3}{3}

= 1 - (\frac{3}{3})^{2}

= \frac{2 \cdot \frac{3}{3}}{1 - ( \frac{3}{3} ) ^{2}}

Simplificar

\frac{2 \cdot \frac{3}{3}}{1 - ( \frac{3}{3} ) ^{2}}

(\frac{3}{3})^{2} = \frac{1}{3}

(\frac{3}{3})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{3 ^{2}}

(3)^{2} : 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{3 ^{2}}

Eliminar o fator comum:

3

= \frac{1}{3}

= \frac{2 \cdot \frac{3}{3}}{1 - \frac{1}{3}}

Multiplicar

2 \cdot \frac{3}{3} : \frac{2}{3}

2 \cdot \frac{3}{3}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 2}{3}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a = a^{\frac{1}{n}}

3 = 3^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 \cdot 3 ^{\frac{1}{2}}}{3}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{1}} = \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{2}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Subtrair:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{2}{3 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a^{\frac{1}{n}} = n a

3^{\frac{1}{2}} = 3

= \frac{2}{3}

= \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2}{3 ( 1 - \frac{1}{3} )}

Simplificar

1 - \frac{1}{3}

em uma fração:

\frac{2}{3}

1 - \frac{1}{3}

Converter para fração:

1 = \frac{1 \cdot 3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 3 - 1}{3}

1 \cdot 3 - 1 = 2

1 \cdot 3 - 1

Multiplicar os números:

1 \cdot 3 = 3

= 3 - 1

Subtrair:

3 - 1 = 2

= 2

= \frac{2}{3}

= \frac{2}{3 \frac{2}{3}}

Multiplicar

3 \frac{2}{3} : \frac{2}{3}

3 \frac{2}{3}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 3}{3}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a = a^{\frac{1}{n}}

3 = 3^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 \cdot 3 ^{\frac{1}{2}}}{3}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{1}} = \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{2}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Subtrair:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{2}{3 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a^{\frac{1}{n}} = n a

3^{\frac{1}{2}} = 3

= \frac{2}{3}

= \frac{2}{\frac{2}{3}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 3}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 3

= 3

= 3

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar sin^2(u)(cot^2(u)+1)=1

p ro v e sin^{2} (u) (cot^{2} (u) + 1) = 1

provar (cos(-x))/(sin(-x))=-cot(x)

p ro v e \frac{cos ( - x )}{sin ( - x )} = - cot (x)

provar sin((9pi)/4)=cos((9pi)/4)

p ro v e sin (\frac{9 π}{4}) = cos (\frac{9 π}{4})

provar tan(β)=csc(β)sec(β)-cot(β)

p ro v e tan (β) = csc (β) sec (β) - cot (β)

provar cos(x-90)=sin(x)

p ro v e cos (x - 9 0^{\circ}) = sin (x)