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verificar sec(x)=sin(x)(tan(x)+cot(x))

Solución

verificar

sec (x) = sin (x) (tan (x) + cot (x))

Solución

Verdadero

Pasos de solución

sec (x) = sin (x) (tan (x) + cot (x))

Manipular el lado izquierdo

sin (x) (tan (x) + cot (x))

Expresar con seno, coseno

(cot (x) + tan (x)) sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + tan (x)) sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) sin (x)

Simplificar

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) sin (x) : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) sin (x)

Simplificar

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

en una fracción:

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Mínimo común múltiplo de

sin (x), cos (x) : sin (x) cos (x)

sin (x), cos (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

sin (x)

cos (x)

= sin (x) cos (x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (x)

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Para

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} sin (x)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Eliminar los terminos comunes:

sin (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( x )}}

Simplificar

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( x )}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( x )}{1}

Aplicar la regla

\frac{a}{1} = a

= sec (x)

sec (x)

sec (x)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar (cos(-x))/(sin(-x))=-cot(x)verificar

\frac{cos ( - x )}{sin ( - x )} = - cot (x)

verificar sin((9pi)/4)=cos((9pi)/4)verificar

sin (\frac{9 π}{4}) = cos (\frac{9 π}{4})

verificar tan(β)=csc(β)sec(β)-cot(β)verificar

tan (β) = csc (β) sec (β) - cot (β)

verificar tan(x)(cos(x))/(1+sin(x))=sec(x)verificar

tan (x) \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} = sec (x)

verificar sec^2(θ)(1-sin^2(θ))=sec^2(θ)verificar

sec^{2} (θ) (1 - sin^{2} (θ)) = sec^{2} (θ)