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provar cos^4(A)-sin^4(A)+1=2cos^2(A)

Solução

provar

cos^{4} (A) - sin^{4} (A) + 1 = 2 cos^{2} (A)

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

cos^{4} (A) - sin^{4} (A) + 1 = 2 cos^{2} (A)

Manipular o lado direito

cos^{4} (A) - sin^{4} (A) + 1

Fatorar

1 - sin^{4} (A) : - (sin^{2} (A) + 1) (sin (A) + 1) (sin (A) - 1)

1 - sin^{4} (A)

Fatorar o termo comum

- 1

= - (sin^{4} (A) - 1)

Fatorar

sin^{4} (A) - 1 : (sin^{2} (A) + 1) (sin (A) + 1) (sin (A) - 1)

sin^{4} (A) - 1

Reescrever

sin^{4} (A) - 1

como

(sin^{2} (A))^{2} - 1^{2}

sin^{4} (A) - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= sin^{4} (A) - 1^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (A) = (sin^{2} (A))^{2}

= (sin^{2} (A))^{2} - 1^{2}

= (sin^{2} (A))^{2} - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sin^{2} (A))^{2} - 1^{2} = (sin^{2} (A) + 1) (sin^{2} (A) - 1)

= (sin^{2} (A) + 1) (sin^{2} (A) - 1)

Fatorar

sin^{2} (A) - 1 : (sin (A) + 1) (sin (A) - 1)

sin^{2} (A) - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= sin^{2} (A) - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (A) - 1^{2} = (sin (A) + 1) (sin (A) - 1)

= (sin (A) + 1) (sin (A) - 1)

= (sin^{2} (A) + 1) (sin (A) + 1) (sin (A) - 1)

= - (sin^{2} (A) + 1) (sin (A) + 1) (sin (A) - 1)

= cos^{4} (A) - (- 1 + sin (A)) (1 + sin (A)) (1 + sin^{2} (A))

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos^{4} (A) - (- 1 + sin (A)) (1 + sin (A)) (1 + sin^{2} (A))

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos^{4} (A) - (- 1 + sin (A)) (1 + sin (A)) (1 + 1 - cos^{2} (A))

Simplificar

= cos^{4} (A) - (- 1 + sin (A)) (1 + sin (A)) (- cos^{2} (A) + 2)

Expandir

(sin (A) + 1) (sin (A) - 1) : sin^{2} (A) - 1

(sin (A) + 1) (sin (A) - 1)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = sin (A), b = 1

= sin^{2} (A) - 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= sin^{2} (A) - 1

= cos^{4} (A) - (sin^{2} (A) - 1) (2 - cos^{2} (A))

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

1 = cos^{2} (A) + sin^{2} (A)

1 - sin^{2} (A) = cos^{2} (A)

= cos^{4} (A) - (- cos^{2} (A)) (2 - cos^{2} (A))

Simplificar

cos^{4} (A) - (- cos^{2} (A)) (2 - cos^{2} (A)) : 2 cos^{2} (A)

cos^{4} (A) - (- cos^{2} (A)) (2 - cos^{2} (A))

Aplicar a regra

- (- a) = a

= cos^{4} (A) + cos^{2} (A) (2 - cos^{2} (A))

Expandir

cos^{2} (A) (2 - cos^{2} (A)) : 2 cos^{2} (A) - cos^{4} (A)

cos^{2} (A) (2 - cos^{2} (A))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = cos^{2} (A), b = 2, c = cos^{2} (A)

= cos^{2} (A) \cdot 2 - cos^{2} (A) cos^{2} (A)

= 2 cos^{2} (A) - cos^{2} (A) cos^{2} (A)

cos^{2} (A) cos^{2} (A) = cos^{4} (A)

cos^{2} (A) cos^{2} (A)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (A) cos^{2} (A) = cos^{2 + 2} (A)

= cos^{2 + 2} (A)

Somar:

2 + 2 = 4

= cos^{4} (A)

= 2 cos^{2} (A) - cos^{4} (A)

= cos^{4} (A) + 2 cos^{2} (A) - cos^{4} (A)

Somar elementos similares:

cos^{4} (A) - cos^{4} (A) = 0

= 2 cos^{2} (A)

= 2 cos^{2} (A)

= 2 cos^{2} (A)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar 1-tan^4(θ)=2sec^2(θ)-sec^4(θ)

p ro v e 1 - tan^{4} (θ) = 2 sec^{2} (θ) - sec^{4} (θ)

provar 7sec(y)cos(y)=7

p ro v e 7 sec (y) cos (y) = 7

provar sec(pi/2-u)=csc(u)

p ro v e sec (\frac{π}{2} - u) = csc (u)

provar (cot^3(t))/(csc(t))=cos(t)(csc^2(-1))

p ro v e \frac{cot ^{3} ( t )}{csc ( t )} = cos (t) (csc^{2} (- 1))

provar (sec^2(x)cot(x))/(csc^2(x))=tan(x)

p ro v e \frac{sec ^{2} ( x ) cot ( x )}{csc ^{2} ( x )} = tan (x)