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dimostrare cot(θ)-tan(θ)=(2cos(2θ))/(sin(2θ))

Soluzione

dimostrare

cot (θ) - tan (θ) = \frac{2 cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

Vero

Fasi della soluzione

cot (θ) - tan (θ) = \frac{2 cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

Manipolando il lato sinistro

cot (θ) - tan (θ)

Esprimere con sen e cos

cot (θ) - tan (θ)

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - tan (θ)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Semplifica

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Minimo Comune Multiplo di

sin (θ), cos (θ) : sin (θ) cos (θ)

sin (θ), cos (θ)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

sin (θ)

cos (θ)

= sin (θ) cos (θ)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

sin (θ) cos (θ)

Per

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Per

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} - \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{\frac{s i n ( 2 θ )}{2}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ ) ) \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 θ ) \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

= \frac{cos ( 2 θ ) \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

= \frac{2 cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e tan (- u) \cdot sin (- u) + cos (- u) = sec (u)

p ro v e \frac{2 sin ^{2} ( x )}{sin ( 2 x )} = \frac{1}{cot ( x )}

p ro v e csc (x) (csc (x) + sin (- x)) = cot^{2} (x)

p ro v e tan (x) + cot (x) = (sec (x)) \cdot (csc (x))

p ro v e \frac{csc ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ )} = sec (θ)