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prouver cot(θ)-tan(θ)=(2cos(2θ))/(sin(2θ))

Solution

prouver

cot (θ) - tan (θ) = \frac{2 cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

vrai

étapes des solutions

cot (θ) - tan (θ) = \frac{2 cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

En manipulant le côté gauche

cot (θ) - tan (θ)

Exprimer avec sinus, cosinus

cot (θ) - tan (θ)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - tan (θ)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Simplifier

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Plus petit commun multiple de

sin (θ), cos (θ) : sin (θ) cos (θ)

sin (θ), cos (θ)

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

sin (θ)

ou dans

cos (θ)

= sin (θ) cos (θ)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

sin (θ) cos (θ)

Pour

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Pour

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} - \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Utiliser l'identité d'angle double:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{\frac{s i n ( 2 θ )}{2}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ ) ) \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

Utiliser l'identité d'angle double:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 θ ) \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

= \frac{cos ( 2 θ ) \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

= \frac{2 cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

p ro v e tan (- u) \cdot sin (- u) + cos (- u) = sec (u)

p ro v e \frac{2 sin ^{2} ( x )}{sin ( 2 x )} = \frac{1}{cot ( x )}

p ro v e csc (x) (csc (x) + sin (- x)) = cot^{2} (x)

p ro v e tan (x) + cot (x) = (sec (x)) \cdot (csc (x))

p ro v e \frac{csc ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ )} = sec (θ)