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provar 2/(1+cos(2x))=sec^2(x)

Solução

provar

\frac{2}{1 + cos ( 2 x )} = sec^{2} (x)

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{2}{1 + cos ( 2 x )} = sec^{2} (x)

Manipular o lado direito

\frac{2}{1 + cos ( 2 x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{2}{1 + cos ( 2 x )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{2}{1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}

Simplificar

\frac{2}{1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1} : \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

\frac{2}{1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 = 2 cos^{2} (x)

1 + 2 cos^{2} (x) - 1

Agrupar termos semelhantes

= 2 cos^{2} (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (x)

= \frac{2}{2 cos ^{2} ( x )}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( x )} ) ^{2}}

Simplificar

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( x )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ^{2} ( x )}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ^{2} ( x )}{1}

Aplicar a regra

\frac{a}{1} = a

= sec^{2} (x)

sec^{2} (x)

sec^{2} (x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e cos (2 x) = - 2 sin (x^{2}) + 1

p ro v e tan (x) (cos (x) + cot (x)) = sin (x) + 1

p ro v e 1 + tan^{2} (6 0^{\circ}) = sec^{2} (6 0^{\circ})

p ro v e sin (x) = sin (x + 2 π)

p ro v e 1 + cos (t) = \frac{sin ^{2} ( t )}{1 - cos ( t )}