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Populaire Trigonométrie >

prouver 1/2 cot(x/2)-1/2 tan(x/2)=cot(x)

Solution

prouver

\frac{1}{2} cot (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2} tan (\frac{x}{2}) = cot (x)

Solution

vrai

étapes des solutions

\frac{1}{2} cot (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2} tan (\frac{x}{2}) = cot (x)

Soit :

u = \frac{x}{2}

\frac{1}{2} cot (u) - \frac{1}{2} tan (u) = cot (2 u)

Prouver que

\frac{1}{2} cot (u) - \frac{1}{2} tan (u) = cot (2 u) :

vrai

\frac{1}{2} cot (u) - \frac{1}{2} tan (u) = cot (2 u)

En manipulant le côté gauche

\frac{1}{2} cot (u) - \frac{1}{2} tan (u)

Exprimer avec sinus, cosinus

cot (u) \frac{1}{2} - \frac{1}{2} tan (u)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} tan (u)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Simplifier

\frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )} : \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

\frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

\frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2} = \frac{cos ( u )}{2 sin ( u )}

\frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ( u ) \cdot 1}{sin ( u ) \cdot 2}

Multiplier:

cos (u) \cdot 1 = cos (u)

= \frac{cos ( u )}{2 sin ( u )}

\frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )} = \frac{sin ( u )}{2 cos ( u )}

\frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Multiplier des fractions:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ( u )}{2 cos ( u )}

Multiplier:

1 \cdot sin (u) = sin (u)

= \frac{sin ( u )}{2 cos ( u )}

= \frac{cos ( u )}{2 sin ( u )} - \frac{sin ( u )}{2 cos ( u )}

Plus petit commun multiple de

sin (u) 2, 2 cos (u) : 2 sin (u) cos (u)

sin (u) \cdot 2, 2 cos (u)

Plus petit commun multiple (PPCM)

Plus petit commun multiple de

2, 2 : 2

2, 2

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Factorisation première de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

2

2

= 2

Multiplier les nombres :

2 = 2

= 2

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

sin (u) 2

ou dans

2 cos (u)

= 2 sin (u) cos (u)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

2 sin (u) cos (u)

Pour

\frac{cos ( u )}{sin ( u ) \cdot 2} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos (u)

\frac{cos ( u )}{sin ( u ) \cdot 2} = \frac{cos ( u ) cos ( u )}{sin ( u ) \cdot 2 cos ( u )} = \frac{cos ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

Pour

\frac{sin ( u )}{2 cos ( u )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin (u)

\frac{sin ( u )}{2 cos ( u )} = \frac{sin ( u ) sin ( u )}{2 cos ( u ) sin ( u )} = \frac{sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )} - \frac{sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{2 cos ( u ) sin ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{2 cos ( u ) sin ( u )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{2 cos ( u ) sin ( u )}

Utiliser l'identité d'angle double:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{sin ( 2 u )}

Utiliser l'identité d'angle double:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

= \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (2 u)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Par conséquent

\frac{1}{2} cot (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2} tan (\frac{x}{2}) = cot (x)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Exemples populaires

prouver (-cot(x)+1)/(tan(x)-1)=cot(x)

p ro v e \frac{- cot ( x ) + 1}{tan ( x ) - 1} = cot (x)

prouver 4cos^2(a)+4sin^2(a)=4

p ro v e 4 cos^{2} (a) + 4 sin^{2} (a) = 4

prouver (sin(a))/(tan(a))=cos(a)

p ro v e \frac{sin ( a )}{tan ( a )} = cos (a)

prouver sin^2(3x)+cos^2(3x)=1

p ro v e sin^{2} (3 x) + cos^{2} (3 x) = 1

prouver cos(pi/7)=sin(pi/2-pi/7)

p ro v e cos (\frac{π}{7}) = sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{7})