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人気のある三角関数 >

証明する csc^2(θ/2)= 2/(1-cos(θ))

解

証明する

csc^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( θ )}

解

真

解答ステップ

csc^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( θ )}

仮定:

u = \frac{θ}{2}

csc^{2} (u) = \frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

以下を証明する

csc^{2} (u) = \frac{2}{1 - cos ( 2 u )} :

真

csc^{2} (u) = \frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

右側を操作する

\frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

2倍角の公式を使用:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

簡素化

\frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )} : \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

\frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

拡張

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

括弧を分配する

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2}{2 sin ^{2} ( u )}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

三角関数の公式を使用して書き換える

基本的な三角関数の公式を使用する:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( u )} ) ^{2}}

簡素化

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( u )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( u )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( u )}

(\frac{1}{csc ( u )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( u )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( u )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( u )}}

分数の規則を適用する:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ^{2} ( u )}{1}

規則を適用

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (u)

csc^{2} (u)

csc^{2} (u)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

このため

csc^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( θ )}

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する sec(x)cos(x)+tan^2(x)=sec^2(x)

p ro v e sec (x) cos (x) + tan^{2} (x) = sec^{2} (x)

証明する cot^2(θ)+1= 1/(sin^2(θ))

p ro v e cot^{2} (θ) + 1 = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

証明する 3cos(2x+pi/2)-2=6cos^2(x+pi/4)

p ro v e 3 cos (2 x + \frac{π}{2}) - 2 = 6 cos^{2} (x + \frac{π}{4})

証明する cos^4(b)-sin^4(b)=cos(2b)

p ro v e cos^{4} (b) - sin^{4} (b) = cos (2 b)

証明する sin^2(x)sec^2(x)=sec^2(x)-1

p ro v e sin^{2} (x) sec^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1