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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (cot^2(x)+1)/(cot^2(x)-1)=sec(2x)

Lösung

beweisen

\frac{cot ^{2} ( x ) + 1}{cot ^{2} ( x ) - 1} = sec (2 x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cot ^{2} ( x ) + 1}{cot ^{2} ( x ) - 1} = sec (2 x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{cot ^{2} ( x ) + 1}{cot ^{2} ( x ) - 1}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + cot ^{2} ( x )}{- 1 + cot ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}} : \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}

\frac{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{- 1 + \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 + \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}{- 1 + \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}

Füge

- 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

- 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 + \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}{\frac{- s i n ^{2} ( x ) + c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}

Füge

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( x ) + c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}{\frac{- s i n ^{2} ( x ) + c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) ( - sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( 2 x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( 2 x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (2 x)

sec (2 x)

sec (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cot(-x)sin(-x)=cos(x)

p ro v e cot (- x) sin (- x) = cos (x)

beweisen sin^2(x)=tan^2(x)+1

p ro v e sin^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

beweisen cos^2(u)= 1/2+1/2 cos(2u)

p ro v e cos^{2} (u) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 u)

beweisen cos(θ)=sec(θ)-(tan^2(θ))/(sec(θ))

p ro v e cos (θ) = sec (θ) - \frac{tan ^{2} ( θ )}{sec ( θ )}

beweisen tan(θ/2)=csc^2(θ)-cot^2(θ)

p ro v e tan (\frac{θ}{2}) = csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ)