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证明 cos(330)=1-2sin^2(165)

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解答

证明 cos(330∘)=1−2sin2(165∘)

解答

真
求解步骤
cos(330∘)=1−2sin2(165∘)
调整左侧cos(330∘)
化简 cos(330∘):23​​
cos(330∘)
使用三角恒等式改写:cos(180∘)cos(150∘)−sin(180∘)sin(150∘)
cos(330∘)
将 cos(330∘) 写为 cos(180∘+150∘)=cos(180∘+150∘)
使用角和恒等式: cos(s+t)=cos(s)cos(t)−sin(s)sin(t)=cos(180∘)cos(150∘)−sin(180∘)sin(150∘)
=cos(180∘)cos(150∘)−sin(180∘)sin(150∘)
使用以下普通恒等式:cos(180∘)=(−1)
cos(180∘)
cos(x) 周期表(周期为 360∘n):
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
=(−1)
使用以下普通恒等式:cos(150∘)=−23​​
cos(150∘)
cos(x) 周期表(周期为 360∘n):
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
=−23​​
使用以下普通恒等式:sin(180∘)=0
sin(180∘)
sin(x) 周期表(周期为 360∘n"):
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
=0
使用以下普通恒等式:sin(150∘)=21​
sin(150∘)
sin(x) 周期表(周期为 360∘n"):
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
=21​
=(−1)(−23​​)−0⋅21​
化简=23​​
=23​​
调整右侧1−2sin2(165∘)
乘开 1−2sin2(165∘):23​​
1−2sin2(165∘)
2sin2(165∘)=22−3​​
2sin2(165∘)
sin2(165∘)=42−3​​
sin2(165∘)
sin(165∘)=46​−2​​
sin(165∘)
使用三角恒等式改写:sin(135∘)cos(30∘)+cos(135∘)sin(30∘)
sin(165∘)
将 sin(165∘) 写为 sin(135∘+30∘)=sin(135∘+30∘)
使用角和恒等式: sin(s+t)=sin(s)cos(t)+cos(s)sin(t)=sin(135∘)cos(30∘)+cos(135∘)sin(30∘)
=sin(135∘)cos(30∘)+cos(135∘)sin(30∘)
使用以下普通恒等式:sin(135∘)=22​​
sin(135∘)
sin(x) 周期表(周期为 360∘n"):
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
=22​​
使用以下普通恒等式:cos(30∘)=23​​
cos(30∘)
cos(x) 周期表(周期为 360∘n):
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
=23​​
使用以下普通恒等式:cos(135∘)=−22​​
cos(135∘)
cos(x) 周期表(周期为 360∘n):
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
=−22​​
使用以下普通恒等式:sin(30∘)=21​
sin(30∘)
sin(x) 周期表(周期为 360∘n"):
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
=21​
=22​​⋅23​​+(−22​​)21​
化简 22​​⋅23​​+(−22​​)21​:46​−2​​
22​​⋅23​​+(−22​​)21​
去除括号: (−a)=−a=22​​⋅23​​−22​​⋅21​
22​​⋅23​​=46​​
22​​⋅23​​
分式相乘: ba​⋅dc​=b⋅da⋅c​=2⋅22​3​​
数字相乘:2⋅2=4=42​3​​
化简 2​3​:6​
2​3​
使用根式运算法则: a​b​=a⋅b​2​3​=2⋅3​=2⋅3​
数字相乘:2⋅3=6=6​
=46​​
22​​⋅21​=42​​
22​​⋅21​
分式相乘: ba​⋅dc​=b⋅da⋅c​=2⋅22​⋅1​
乘以:2​⋅1=2​=2⋅22​​
数字相乘:2⋅2=4=42​​
=46​​−42​​
使用法则 ca​±cb​=ca±b​=46​−2​​
=46​−2​​
=(46​−2​​)2
使用指数法则: (ba​)c=bcac​=42(6​−2​)2​
(6​−2​)2=8−43​
(6​−2​)2
使用完全平方公式: (a−b)2=a2−2ab+b2a=6​,b=2​
=(6​)2−26​2​+(2​)2
化简 (6​)2−26​2​+(2​)2:8−43​
(6​)2−26​2​+(2​)2
(6​)2=6
(6​)2
使用根式运算法则: a​=a21​=(621​)2
使用指数法则: (ab)c=abc=621​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
分式相乘: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
约分:2=1
=6
26​2​=43​
26​2​
分解整数 6=2⋅3=22⋅3​2​
使用根式运算法则: nab​=na​nb​2⋅3​=2​3​=22​3​2​
使用根式运算法则: a​a​=a2​2​=2=2⋅23​
数字相乘:2⋅2=4=43​
(2​)2=2
(2​)2
使用根式运算法则: a​=a21​=(221​)2
使用指数法则: (ab)c=abc=221​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
分式相乘: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
约分:2=1
=2
=6−43​+2
数字相加:6+2=8=8−43​
=8−43​
=428−43​​
分解 8−43​:4(2−3​)
8−43​
改写为=4⋅2−43​
因式分解出通项 4=4(2−3​)
=424(2−3​)​
约分:4=42−3​​
=2⋅42−3​​
分式相乘: a⋅cb​=ca⋅b​=4(2−3​)⋅2​
约分:2=22−3​​
=1−22−3​​
化简
1−22−3​​
使用分式法则: ca±b​=ca​±cb​22−3​​=−(22​)−(−23​​)=1−(22​)−(−23​​)
去除括号: (a)=a,−(−a)=a=1−22​+23​​
使用法则 aa​=1=1−1+23​​
1−1=0=23​​
=23​​
=23​​
我们已展示,在两侧可以有相同的形式⇒真

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