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Popolare Trigonometria >

dimostrare sqrt(2)sin(x+45)=sin(x)+cos(x)

Soluzione

dimostrare

2 sin (x + 4 5^{\circ}) = sin (x) + cos (x)

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

2 sin (x + 4 5^{\circ}) = sin (x) + cos (x)

Manipolando il lato sinistro

2 sin (x + 4 5^{\circ})

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (x + 4 5^{\circ})

Usa la formula della somma degli angoli:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (x) cos (4 5^{\circ}) + cos (x) sin (4 5^{\circ})

Semplifica

sin (x) cos (4 5^{\circ}) + cos (x) sin (4 5^{\circ}) : \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

sin (x) cos (4 5^{\circ}) + cos (x) sin (4 5^{\circ})

sin (x) cos (4 5^{\circ}) = \frac{2 sin ( x )}{2}

sin (x) cos (4 5^{\circ})

Semplifica

cos (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

cos (4 5^{\circ})

Usare la seguente identità triviale:

cos (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

36 0^{\circ} n

cicli:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

cos (x) sin (4 5^{\circ}) = \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (x) sin (4 5^{\circ})

Semplifica

sin (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

sin (4 5^{\circ})

Usare la seguente identità triviale:

sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

36 0^{\circ} n

cicli:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{2 sin ( x )}{2} + \frac{2 cos ( x )}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

= \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

= 2 \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

Semplifica

2 \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2} : sin (x) + cos (x)

2 \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 2 sin ( x ) + 2 cos ( x ) ) 2}{2}

Cancellare

\frac{( 2 sin ( x ) + 2 cos ( x ) ) 2}{2} : \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

\frac{( 2 sin ( x ) + 2 cos ( x ) ) 2}{2}

Applicare la regola della radice:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} ( 2 sin ( x ) + 2 cos ( x ) )}{2}

Applica la regola degli esponenti:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{1}} = \frac{1}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Sottrai i numeri:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Applicare la regola della radice:

a^{\frac{1}{n}} = n a

2^{\frac{1}{2}} = 2

= \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

= \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

Fattorizzare dal termine comune

2

= \frac{2 ( sin ( x ) + cos ( x ) )}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= sin (x) + cos (x)

= sin (x) + cos (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare tan^2(x)sin^2(x)=tan^2(x)+sin^2(x)

p ro v e tan^{2} (x) sin^{2} (x) = tan^{2} (x) + sin^{2} (x)

dimostrare cos(-pi/6)=sin(-pi/6+pi/2)

p ro v e cos (- \frac{π}{6}) = sin (- \frac{π}{6} + \frac{π}{2})

dimostrare 3sin(2x-15)=cos(2x-15)

p ro v e 3 sin (2 x - 15) = cos (2 x - 15)

dimostrare sin(x)sec(x)cot(x)=cot(x)

p ro v e sin (x) sec (x) cot (x) = cot (x)

dimostrare sin((7pi)/4)=sin((-pi)/4)

p ro v e sin (\frac{7 π}{4}) = sin (\frac{- π}{4})