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受欢迎的三角函数 >

证明 1/(sin(θ)cos(θ))-tan(θ)=cot(θ)

解答

证明

\frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )} - tan (θ) = cot (θ)

解答

真

求解步骤

\frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )} - tan (θ) = cot (θ)

调整左侧

\frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )} - tan (θ)

用 sin, cos 表示

\frac{1}{cos ( θ ) sin ( θ )} - tan (θ)

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( θ ) sin ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

化简

\frac{1}{cos ( θ ) sin ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

\frac{1}{cos ( θ ) sin ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

cos (θ) sin (θ), cos (θ)

的最小公倍数:

cos (θ) sin (θ)

cos (θ) sin (θ), cos (θ)

最小公倍数 (LCM)

计算出由出现在

cos (θ) sin (θ)

或

cos (θ)

中的因子组成的表达式

= cos (θ) sin (θ)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

cos (θ) sin (θ)

对于

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

将分母和分子乘以

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{1}{cos ( θ ) sin ( θ )} - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

使用三角恒等式改写

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

使用毕达哥拉斯恒等式:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

约分:

cos (θ)

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

使用基本三角恒等式:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (θ)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 cot(θ)*sec(θ)= 1/(cos(θ))

p ro v e cot (θ) \cdot sec (θ) = \frac{1}{cos ( θ )}

证明 sin(x)sin(y)=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)

p ro v e sin (x) sin (y) = 2 sin (\frac{x + y}{2}) cos (\frac{x - y}{2})

证明 1-sin(x)*cos(x)*tan(x)=cos^2(x)

p ro v e 1 - sin (x) \cdot cos (x) \cdot tan (x) = cos^{2} (x)

证明 sin(x)cos(x)=sec^2(x)-csc^2(x)

p ro v e sin (x) cos (x) = sec^{2} (x) - csc^{2} (x)

证明 1/(tan(x)-cot(x))=sin(x)cos(x)

p ro v e \frac{1}{tan ( x ) - cot ( x )} = sin (x) cos (x)