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人気のある三角関数 >

証明する (sec(α)+csc(α))(cos(α)-sin(α))=cot(α)-tan(α)

解

証明する

(sec (α) + csc (α)) (cos (α) - sin (α)) = cot (α) - tan (α)

解

真

解答ステップ

(sec (α) + csc (α)) (cos (α) - sin (α)) = cot (α) - tan (α)

左側を操作する

(sec (α) + csc (α)) (cos (α) - sin (α))

サイン, コサインで表わす

(cos (α) - sin (α)) (csc (α) + sec (α))

基本的な三角関数の公式を使用する:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (cos (α) - sin (α)) (\frac{1}{sin ( α )} + sec (α))

基本的な三角関数の公式を使用する:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (cos (α) - sin (α)) (\frac{1}{sin ( α )} + \frac{1}{cos ( α )})

簡素化

(cos (α) - sin (α)) (\frac{1}{sin ( α )} + \frac{1}{cos ( α )}) : \frac{( cos ( α ) + sin ( α ) ) ( cos ( α ) - sin ( α ) )}{sin ( α ) cos ( α )}

(cos (α) - sin (α)) (\frac{1}{sin ( α )} + \frac{1}{cos ( α )})

結合

\frac{1}{sin ( α )} + \frac{1}{cos ( α )} : \frac{cos ( α ) + sin ( α )}{sin ( α ) cos ( α )}

\frac{1}{sin ( α )} + \frac{1}{cos ( α )}

以下の最小公倍数:

sin (α), cos (α) : sin (α) cos (α)

sin (α), cos (α)

最小公倍数 (LCM)

sin (α)

または以下のいずれかに現れる因数で構成された式を計算する:

cos (α)

= sin (α) cos (α)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

sin (α) cos (α)

\frac{1}{sin ( α )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos (α)

\frac{1}{sin ( α )} = \frac{1 \cdot cos ( α )}{sin ( α ) cos ( α )} = \frac{cos ( α )}{sin ( α ) cos ( α )}

\frac{1}{cos ( α )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

sin (α)

\frac{1}{cos ( α )} = \frac{1 \cdot sin ( α )}{cos ( α ) sin ( α )} = \frac{sin ( α )}{sin ( α ) cos ( α )}

= \frac{cos ( α )}{sin ( α ) cos ( α )} + \frac{sin ( α )}{sin ( α ) cos ( α )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( α ) + sin ( α )}{sin ( α ) cos ( α )}

= \frac{cos ( α ) + sin ( α )}{sin ( α ) cos ( α )} (cos (α) - sin (α))

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ( α ) + sin ( α ) ) ( cos ( α ) - sin ( α ) )}{sin ( α ) cos ( α )}

= \frac{( cos ( α ) + sin ( α ) ) ( cos ( α ) - sin ( α ) )}{sin ( α ) cos ( α )}

= \frac{( cos ( α ) + sin ( α ) ) ( cos ( α ) - sin ( α ) )}{cos ( α ) sin ( α )}

拡張

(cos (α) + sin (α)) (cos (α) - sin (α)) : cos^{2} (α) - sin^{2} (α)

(cos (α) + sin (α)) (cos (α) - sin (α))

2乗の差の公式を適用する:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = cos (α), b = sin (α)

= cos^{2} (α) - sin^{2} (α)

= \frac{cos ^{2} ( α ) - sin ^{2} ( α )}{cos ( α ) sin ( α )}

右側を操作する

cot (α) - tan (α)

サイン, コサインで表わす

cot (α) - tan (α)

基本的な三角関数の公式を使用する:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( α )}{sin ( α )} - tan (α)

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( α )}{sin ( α )} - \frac{sin ( α )}{cos ( α )}

簡素化

\frac{cos ( α )}{sin ( α )} - \frac{sin ( α )}{cos ( α )} : \frac{cos ^{2} ( α ) - sin ^{2} ( α )}{sin ( α ) cos ( α )}

\frac{cos ( α )}{sin ( α )} - \frac{sin ( α )}{cos ( α )}

以下の最小公倍数:

sin (α), cos (α) : sin (α) cos (α)

sin (α), cos (α)

最小公倍数 (LCM)

sin (α)

または以下のいずれかに現れる因数で構成された式を計算する:

cos (α)

= sin (α) cos (α)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

sin (α) cos (α)

\frac{cos ( α )}{sin ( α )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos (α)

\frac{cos ( α )}{sin ( α )} = \frac{cos ( α ) cos ( α )}{sin ( α ) cos ( α )} = \frac{cos ^{2} ( α )}{sin ( α ) cos ( α )}

\frac{sin ( α )}{cos ( α )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

sin (α)

\frac{sin ( α )}{cos ( α )} = \frac{sin ( α ) sin ( α )}{cos ( α ) sin ( α )} = \frac{sin ^{2} ( α )}{sin ( α ) cos ( α )}

= \frac{cos ^{2} ( α )}{sin ( α ) cos ( α )} - \frac{sin ^{2} ( α )}{sin ( α ) cos ( α )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( α ) - sin ^{2} ( α )}{sin ( α ) cos ( α )}

= \frac{cos ^{2} ( α ) - sin ^{2} ( α )}{sin ( α ) cos ( α )}

= \frac{cos ^{2} ( α ) - sin ^{2} ( α )}{cos ( α ) sin ( α )}

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する 1-(-cos(x))^2=1+cos^2(x)

p ro v e 1 - (- cos (x))^{2} = 1 + cos^{2} (x)

証明する csc^2(x/2)=(2sec(x))/(sec(x)-1)

p ro v e csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 sec ( x )}{sec ( x ) - 1}

証明する (sec(x))/(-csc(x))+(-sin(x))/(cos(x))=-2tan(x)

p ro v e \frac{sec ( x )}{- csc ( x )} + \frac{- sin ( x )}{cos ( x )} = - 2 tan (x)

証明する 1=(sec(u)+tan(u))/(sec(u)+tan(u))

p ro v e 1 = \frac{sec ( u ) + tan ( u )}{sec ( u ) + tan ( u )}

証明する (sin^2(x))/1*1/(sin^2(x))=1

p ro v e \frac{sin ^{2} ( x )}{1} \cdot \frac{1}{sin ^{2} ( x )} = 1