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dimostrare (cot(3θ)-tan(3θ))/(sin(3θ)+cos(3θ))=csc(3θ)-sec(3θ)

Soluzione

dimostrare

\frac{cot ( 3 θ ) - tan ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) + cos ( 3 θ )} = csc (3 θ) - sec (3 θ)

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

\frac{cot ( 3 θ ) - tan ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) + cos ( 3 θ )} = csc (3 θ) - sec (3 θ)

Manipolando il lato sinistro

\frac{cot ( 3 θ ) - tan ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) + cos ( 3 θ )}

Esprimere con sen e cos

\frac{cot ( 3 θ ) - tan ( 3 θ )}{cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( 3 θ )}{s i n ( 3 θ )} - tan ( 3 θ )}{cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( 3 θ )}{s i n ( 3 θ )} - \frac{s i n ( 3 θ )}{c o s ( 3 θ )}}{cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ )}

Semplifica

\frac{\frac{c o s ( 3 θ )}{s i n ( 3 θ )} - \frac{s i n ( 3 θ )}{c o s ( 3 θ )}}{cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ )} : \frac{cos ( 3 θ ) - sin ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}

\frac{\frac{c o s ( 3 θ )}{s i n ( 3 θ )} - \frac{s i n ( 3 θ )}{c o s ( 3 θ )}}{cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ )}

Unisci

\frac{cos ( 3 θ )}{sin ( 3 θ )} - \frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )} : \frac{cos ^{2} ( 3 θ ) - sin ^{2} ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}

\frac{cos ( 3 θ )}{sin ( 3 θ )} - \frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )}

Minimo Comune Multiplo di

sin (3 θ), cos (3 θ) : sin (3 θ) cos (3 θ)

sin (3 θ), cos (3 θ)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

sin (3 θ)

cos (3 θ)

= sin (3 θ) cos (3 θ)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

sin (3 θ) cos (3 θ)

Per

\frac{cos ( 3 θ )}{sin ( 3 θ )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (3 θ)

\frac{cos ( 3 θ )}{sin ( 3 θ )} = \frac{cos ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )} = \frac{cos ^{2} ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}

Per

\frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sin (3 θ)

\frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )} = \frac{sin ( 3 θ ) sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ ) sin ( 3 θ )} = \frac{sin ^{2} ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}

= \frac{cos ^{2} ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )} - \frac{sin ^{2} ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( 3 θ ) - sin ^{2} ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( 3 θ ) - s i n ^{2} ( 3 θ )}{s i n ( 3 θ ) c o s ( 3 θ )}}{cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ )}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{cos ^{2} ( 3 θ ) - sin ^{2} ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ ) ( cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ ) )}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (3 θ) - sin^{2} (3 θ) = (cos (3 θ) + sin (3 θ)) (cos (3 θ) - sin (3 θ))

= \frac{( cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ ) ) ( cos ( 3 θ ) - sin ( 3 θ ) )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ ) ( cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ ) )}

Cancella il fattore comune:

cos (3 θ) + sin (3 θ)

= \frac{cos ( 3 θ ) - sin ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}

= \frac{cos ( 3 θ ) - sin ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}

= \frac{cos ( 3 θ ) - sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ ) sin ( 3 θ )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

Usare l'identità trigonometrica di base:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{cos ( 3 θ ) - \frac{1}{c s c ( 3 θ )}}{cos ( 3 θ ) \frac{1}{c s c ( 3 θ )}}

Usare l'identità trigonometrica di base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{\frac{1}{s e c ( 3 θ )} - \frac{1}{c s c ( 3 θ )}}{\frac{1}{s e c ( 3 θ )} \cdot \frac{1}{c s c ( 3 θ )}}

Semplificare

\frac{\frac{1}{s e c ( 3 θ )} - \frac{1}{c s c ( 3 θ )}}{\frac{1}{s e c ( 3 θ )} \cdot \frac{1}{c s c ( 3 θ )}}

Moltiplicare

\frac{1}{sec ( 3 θ )} \cdot \frac{1}{csc ( 3 θ )} : \frac{1}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

\frac{1}{sec ( 3 θ )} \cdot \frac{1}{csc ( 3 θ )}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

= \frac{\frac{1}{s e c ( 3 θ )} - \frac{1}{c s c ( 3 θ )}}{\frac{1}{s e c ( 3 θ ) c s c ( 3 θ )}}

Unisci

\frac{1}{sec ( 3 θ )} - \frac{1}{csc ( 3 θ )} : \frac{csc ( 3 θ ) - sec ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

\frac{1}{sec ( 3 θ )} - \frac{1}{csc ( 3 θ )}

Minimo Comune Multiplo di

sec (3 θ), csc (3 θ) : sec (3 θ) csc (3 θ)

sec (3 θ), csc (3 θ)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

sec (3 θ)

csc (3 θ)

= sec (3 θ) csc (3 θ)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

sec (3 θ) csc (3 θ)

Per

\frac{1}{sec ( 3 θ )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

csc (3 θ)

\frac{1}{sec ( 3 θ )} = \frac{1 \cdot csc ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )} = \frac{csc ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

Per

\frac{1}{csc ( 3 θ )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sec (3 θ)

\frac{1}{csc ( 3 θ )} = \frac{1 \cdot sec ( 3 θ )}{csc ( 3 θ ) sec ( 3 θ )} = \frac{sec ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

= \frac{csc ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )} - \frac{sec ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{csc ( 3 θ ) - sec ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

= \frac{\frac{c s c ( 3 θ ) - s e c ( 3 θ )}{s e c ( 3 θ ) c s c ( 3 θ )}}{\frac{1}{s e c ( 3 θ ) c s c ( 3 θ )}}

Dividi le frazioni:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( csc ( 3 θ ) - sec ( 3 θ ) ) sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ ) \cdot 1}

Affinare

= \frac{( csc ( 3 θ ) - sec ( 3 θ ) ) sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

Cancella il fattore comune:

sec (3 θ)

= \frac{( csc ( 3 θ ) - sec ( 3 θ ) ) csc ( 3 θ )}{csc ( 3 θ )}

Cancella il fattore comune:

csc (3 θ)

= csc (3 θ) - sec (3 θ)

csc (3 θ) - sec (3 θ)

csc (3 θ) - sec (3 θ)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare sin(-pi/2-θ)=-cos(θ)dimostrare

sin (- \frac{π}{2} - θ) = - cos (θ)

dimostrare-2cos(2x)*sin(2x)=sin(-4x)dimostrare

- 2 cos (2 x) \cdot sin (2 x) = sin (- 4 x)

dimostrare sec^2(x)+tan(x)-1=0 dimostrare

sec^{2} (x) + tan (x) - 1 = 0

dimostrare tan(a)cot(a)=1 dimostrare

tan (a) cot (a) = 1

dimostrare (cos(θ^2))(1/(cos(θ^2)))=1 dimostrare

(cos (θ^{2})) (\frac{1}{cos ( θ ^{2} )}) = 1