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Beliebt Trigonometrie >

beweisen ((sec^2(t)))/(sec^2(t)-1)=csc^2(t)

Lösung

beweisen

\frac{( sec ^{2} ( t ) )}{sec ^{2} ( t ) - 1} = csc^{2} (t)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sec ^{2} ( t )}{sec ^{2} ( t ) - 1} = csc^{2} (t)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sec ^{2} ( t )}{sec ^{2} ( t ) - 1}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{sec ^{2} ( t )}{- 1 + sec ^{2} ( t )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( t )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( t )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{( \frac{1}{c o s ( t )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( t )} ) ^{2}} : \frac{1}{- cos ^{2} ( t ) + 1}

\frac{( \frac{1}{c o s ( t )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( t )} ) ^{2}}

(\frac{1}{cos ( t )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( t )}

(\frac{1}{cos ( t )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( t )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( t )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( t )} ) ^{2}}{- 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( t )}}

(\frac{1}{cos ( t )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( t )}

(\frac{1}{cos ( t )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( t )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( t )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( t )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( t )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{cos ^{2} ( t ) ( - 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( t )} )}

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( t )}

zusammen:

\frac{- cos ^{2} ( t ) + 1}{cos ^{2} ( t )}

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( t )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )} + \frac{1}{cos ^{2} ( t )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( t ) + 1}{cos ^{2} ( t )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (t) = cos^{2} (t)

= \frac{- cos ^{2} ( t ) + 1}{cos ^{2} ( t )}

= \frac{1}{\frac{- c o s ^{2} ( t ) + 1}{c o s ^{2} ( t )} cos ^{2} ( t )}

Multipliziere

cos^{2} (t) \frac{- cos ^{2} ( t ) + 1}{cos ^{2} ( t )} : - cos^{2} (t) + 1

cos^{2} (t) \frac{- cos ^{2} ( t ) + 1}{cos ^{2} ( t )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ^{2} ( t ) + 1 ) cos ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (t)

= - - cos^{2} (t) + 1

= \frac{1}{- cos ^{2} ( t ) + 1}

= \frac{1}{- cos ^{2} ( t ) + 1}

= \frac{1}{1 - cos ^{2} ( t )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1}{1 - cos ^{2} ( t )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{1}{sin ^{2} ( t )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( t )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( t )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( t )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( t )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( t )}

(\frac{1}{csc ( t )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( t )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( t )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( t )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ^{2} ( t )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (t)

csc^{2} (t)

csc^{2} (t)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sin^2(x)=cos(2x)+2

p ro v e sin^{2} (x) = cos (2 x) + 2

beweisen 1+cos^2(x)=2-sin^2(x)

p ro v e 1 + cos^{2} (x) = 2 - sin^{2} (x)

beweisen sin^2(x)=cos(2x)-2

p ro v e sin^{2} (x) = cos (2 x) - 2

beweisen (tan(θ)cot(θ))/(cos(θ))=sec(θ)

p ro v e \frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{cos ( θ )} = sec (θ)

beweisen 2(cos(θ-1))^2=cos^4(θ)-sin^4(θ)

p ro v e 2 (cos (θ - 1))^{2} = cos^{4} (θ) - sin^{4} (θ)