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beweisen cos^{(2)}(θ)(1+tan^{(2)}(θ))=1

Lösung

beweisen

cos^{(2)} (θ) (1 + tan^{(2)} (θ)) = 1

Wahr

Schritte zur Lösung

cos^{2} (θ) (1 + tan^{2} (θ)) = 1

Manipuliere die linke Seite

cos^{2} (θ) (1 + tan^{2} (θ))

Drücke mit sin, cos aus

(1 + tan^{2} (θ)) cos^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}) cos^{2} (θ)

Vereinfache

(1 + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}) cos^{2} (θ) : cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

(1 + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}) cos^{2} (θ)

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= cos^{2} (θ) (\frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + 1)

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} cos^{2} (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) ) cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= 1

= 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 1 - 2 sin^{2} (y) + sin^{4} (y) = cos^{4} (y)

p ro v e (sin (x) + cos (x))^{2} - 2 sin (x) cos (x) = 1

p ro v e (1 - sin (3 a)) (sin (3 a) + 1) = cos^{2} (3 a)

p ro v e \frac{sin ( x )}{1 + cos ( 2 x )} = tan (x)

p ro v e sec (t) (csc (t) (tan (t) + cot (t))) = sec^{2} (t) + csc^{2} (t)