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f(x)=2cos^2(x)

Solución

f (x) = 2 cos^{2} (x)

Solución

Period : π

Domain : - \infty < x < \infty

Range : 0 \leq f (x) \leq 2

X intersecta : (\frac{π}{2} + πn, 0), Y intersecta : (0, 2)

Asymptotes : Ninguno

Extreme Points : M \overset{a}{ˊ} ximo (πn, 2), M \overset{ı}{ˊ} nimo (\frac{π}{2} + πn, 0)

Notación de intervalos

Domain : (- \infty, \infty)

Range : [0, 2]

Pasos de solución

Periodicidad de

2 cos^{2} (x) : π

Periodicidad de

cos^{n} (x) = \frac{Periodicidad de cos ( x )}{2},

si n es par

Periodicidad de

cos (x) : 2 π

La periodicidad de

: cos (x)

2 π

= 2 π

= \frac{2 π}{2}

Simplificar

= π

Dominio de

2 cos^{2} (x) : - \infty < x < \infty

Definición de dominio

La función no tiene puntos no definidos ni limitaciones de dominio. Por lo tanto, el dominio es

- \infty < x < \infty

Rango de

2 cos^{2} (x) : 0 \leq f (x) \leq 2

Definición de rango de función

Encontrar el valor mínimo y máximo en cada intervalo definido y unificar los resultados

Dominio de

2 cos^{2} (x) : - \infty < x < \infty

Definición de dominio

La función no tiene puntos no definidos ni limitaciones de dominio. Por lo tanto, el dominio es

- \infty < x < \infty

Puntos extremos de

2 cos^{2} (x) :

Máximo

(πn, 2),

Mínimo

(\frac{π}{2} + πn, 0)

Definicion del criterio de la primera derivada

Encontrar los puntos criticos:

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

2 cos^{2} (x)

Definición de punto crítico

Encontrar dónde

f^{'} (x)

es igual a cero o no está definido

2 cos^{2} (x)

f^{'} (x) = - 2 sin (2 x)

\frac{d}{d x} (2 cos^{2} (x))

Sacar la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 2 \frac{d}{d x} (cos^{2} (x))

Aplicar la regla de la cadena:

2 cos (x) \frac{d}{d x} (cos (x))

\frac{d}{d x} (cos^{2} (x))

Aplicar la regla de la cadena:

\frac{df ( u )}{d x} = \frac{df}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

f = u^{2}, u = cos (x)

= \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (cos (x))

\frac{d}{d u} (u^{2}) = 2 u

\frac{d}{d u} (u^{2})

Aplicar la regla de la potencia:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 2 u^{2 - 1}

Simplificar

= 2 u

= 2 u \frac{d}{d x} (cos (x))

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

= 2 cos (x) \frac{d}{d x} (cos (x))

= 2 cos (x) \frac{d}{d x} (cos (x))

\frac{d}{d x} (cos (x)) = - sin (x)

\frac{d}{d x} (cos (x))

Aplicar la regla de derivación:

\frac{d}{d x} (cos (x)) = - sin (x)

= - sin (x)

= 2 \cdot 2 cos (x) (- sin (x))

Simplificar

2 \cdot 2 cos (x) (- sin (x)) : - 2 sin (2 x)

2 \cdot 2 cos (x) (- sin (x))

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= - 2 \cdot 2 cos (x) sin (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= - 4 cos (x) sin (x)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 4 cos (x) sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= - 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2}

Simplificar

- 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2} : - 2 sin (2 x)

- 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{sin ( 2 x ) \cdot 4}{2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= - 2 sin (2 x)

= - 2 sin (2 x)

= - 2 sin (2 x)

= - 2 sin (2 x)

Resolver

- 2 sin (2 x) = 0 : x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

- 2 sin (2 x) = 0

Dividir ambos lados entre

- 2

- 2 sin (2 x) = 0

Dividir ambos lados entre

- 2

\frac{- 2 sin ( 2 x )}{- 2} = \frac{0}{- 2}

Simplificar

sin (2 x) = 0

sin (2 x) = 0

Soluciones generales para

sin (2 x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 x = 0 + 2 πn, 2 x = π + 2 πn

2 x = 0 + 2 πn, 2 x = π + 2 πn

Resolver

2 x = 0 + 2 πn : x = πn

2 x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

2 x = 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x = 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x = πn

x = πn

Resolver

2 x = π + 2 πn : x = \frac{π}{2} + πn

2 x = π + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x = π + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x = \frac{π}{2} + πn

x = \frac{π}{2} + πn

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

Identificar puntos críticos que no esten en el dominio de

f (x)

Dominio de

2 cos^{2} (x) : - \infty < x < \infty

Definición de dominio

La función no tiene puntos no definidos ni limitaciones de dominio. Por lo tanto, el dominio es

- \infty < x < \infty

Todos los puntos críticos están en el dominio

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

Dominio de

2 cos^{2} (x) : - \infty < x < \infty

Definición de dominio

La función no tiene puntos no definidos ni limitaciones de dominio. Por lo tanto, el dominio es

- \infty < x < \infty

Find intervals:

Decreciente

: πn < x < \frac{π}{2} + πn,

Creciente

: \frac{π}{2} + πn < x < π + πn

Periodicidad de

2 cos^{2} (x) : π

Periodicidad de

cos^{n} (x) = \frac{Periodicidad de cos ( x )}{2},

si n es par

Periodicidad de

cos (x) : 2 π

La periodicidad de

: cos (x)

2 π

= 2 π

= \frac{2 π}{2}

Simplificar

= π

Combinar los puntos criticos:

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

con el periodo:

πn \leq x < π + πn

Los intervalos monotonos de la función son:

πn < x < \frac{π}{2} + πn, \frac{π}{2} + πn < x < π + πn

Verificar el signo de

f^{'} (x) = - 2 sin (2 x)

en cada intervalo de la función monotona

Verificar el signo de

- 2 sin (2 x)

πn < x < \frac{π}{2} + πn :

Negativo

Evaluar la derivada en un punto del intervalo. Tomar el punto

x = 1 + πn

y sustituirlo en

- 2 sin (2 x)

- 2 sin (2 (1 + πn))

Ya que

f (x)

es periódico, entonces

f^{'} (x)

también es periódico:

- 2 sin (2 (x + πn)) = - 2 sin (2 x)

- 2 sin (2 \cdot 1)

Simplificar

- 2 sin (2)

Simplificar a una forma decimal

- 1.81859 \dots

Negativo

Verificar el signo de

- 2 sin (2 x)

\frac{π}{2} + πn < x < π + πn :

Positivo

Evaluar la derivada en un punto del intervalo. Tomar el punto

x = 2 + πn

y sustituirlo en

- 2 sin (2 x)

- 2 sin (2 (2 + πn))

Ya que

f (x)

es periódico, entonces

f^{'} (x)

también es periódico:

- 2 sin (2 (x + πn)) = - 2 sin (2 x)

- 2 sin (2 \cdot 2)

Simplificar

- 2 sin (4)

Simplificar a una forma decimal

1.51360 \dots

Positivo

Resumen del comportamiento de los intervalos de las funciones monotonas

Signo Comportamiento x = πn 0 M \overset{a}{ˊ} ximo πn < x < \frac{π}{2} + πn - Decreciente x = \frac{π}{2} + πn 0 M \overset{ı}{ˊ} nimo \frac{π}{2} + πn < x < π + πn + Creciente

Decreciente : πn < x < \frac{π}{2} + πn, Creciente : \frac{π}{2} + πn < x < π + πn

Sustituir el punto extremo

x = πn

2 cos^{2} (x) \Rightarrow y = 2

M \overset{a}{ˊ} ximo (πn, 2)

Sustituir el punto extremo

x = \frac{π}{2} + πn

2 cos^{2} (x) \Rightarrow y = 0

M \overset{ı}{ˊ} nimo (\frac{π}{2} + πn, 0)

M \overset{a}{ˊ} ximo (πn, 2), M \overset{ı}{ˊ} nimo (\frac{π}{2} + πn, 0)

Encontrar el rango para el intervalo

- \infty < x < \infty : 0 \leq f (x) \leq 2

Calcular los valores de la función en los bordes del intervalo:Para

x = πn,

el valor de la función es

f (πn) = 2

x \to π + πn - lim (2 cos^{2} (x)) = 2

x \to π + πn - lim (2 cos^{2} (x))

Sustituir la variable

= 2 cos^{2} (π + πn)

Simplificar

2 cos^{2} (π + πn) : 2

2 cos^{2} (π + πn)

cos^{2} (π + πn) = 1

cos^{2} (π + πn)

πn = 0

πn

Sumar:

0 + 0 = 0

= 0 π

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

= cos^{2} (π + 0)

π + 0 = π

= cos^{2} (π)

Simplificar

cos (π) : - 1

cos (π)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (π) = (- 1)

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - 1

= (- 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

= 1

= 2 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2

= 2

El intervalo tiene un punto máximo en

x = πn + πn

con valor de

f (πn + πn) = 2

El intervalo tiene un punto mínimo en

x = \frac{π}{2} + πn + πn

con valor de

f (\frac{π}{2} + πn + πn) = 0

Combinar el valor de la función en el borde con los puntos extremos de la función en el intervalo:

El valor mínimo de función en el intervalo del dominio

- \infty < x < \infty

0

El valor máximo de función en el intervalo del dominio

- \infty < x < \infty

2

Por lo tanto, el rango de

2 cos^{2} (x)

en el intervalo del dominio

- \infty < x < \infty

0 \leq f (x) \leq 2

Unir los rangos de todos los intervalos de dominio para obtener el rango de función

0 \leq f (x) \leq 2

Puntos de intersección con el eje de

2 cos^{2} (x) :

X intersecta

: (\frac{π}{2} + πn, 0),

Y intersecta

: (0, 2)

Puntos de intersección con el eje de las abscisas (x) de

2 cos^{2} (x) : (\frac{π}{2} + πn, 0)

2 cos^{2} (x)

Definición de puntos de intersección con el eje de las abscisas (x)

2 cos^{2} (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + πn

2 cos^{2} (x) = 0

Dividir ambos lados entre

2

2 cos^{2} (x) = 0

Dividir ambos lados entre

2

2 cos^{2} (x) = 0

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 cos ^{2} ( x )}{2} = \frac{0}{2}

Simplificar

cos^{2} (x) = 0

cos^{2} (x) = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

cos (x) = 0

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Convertir soluciones a periodo

π

x = \frac{π}{2} + πn

(\frac{π}{2} + πn, 0)

Puntos de intersección con el eje de las ordenadas (y) de

2 cos^{2} (x) : (0, 2)

2 cos^{2} (x)

Definición de puntos de intersección con el eje de las ordenadas (y)

Resolver

y = 2 cos^{2} (0) : 2

2 cos^{2} (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (0) = 1

cos (0)

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

= 2 \cdot 1^{2}

Simplificar

= 2

(0, 2)

X intersecta : (\frac{π}{2} + πn, 0), Y intersecta : (0, 2)

Asintotas de

2 cos^{2} (x) :

Ninguno

Asintotas verticales de

2 cos^{2} (x) :

Ninguno

2 cos^{2} (x)

Revisar cada punto no definido

x = a

y verificar si al menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

x \to a^{-} lim f (x) = \pm \infty

x \to a^{+} lim f (x) = \pm \infty

La función

2 cos^{2} (x)

carece de puntos no definidos

No hay as \overset{ı}{ˊ} ntotas verticales

Slant Asymptotes of

2 cos^{2} (x) :

Ninguno

2 cos^{2} (x)

Check if at

x \to \pm \infty

the function

y = 2 cos^{2} (x)

behaves as a line,

y = m x + b

where

m \neq = 0

Encontrar una asintota para

x \to - \infty :

Ninguno

Calcular

x \to - \infty lim \frac{f ( x )}{x}

para encontrar m:

x \to - \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to - \infty lim \frac{2 cos ^{2} ( x )}{x} = 0

x \to - \infty lim (\frac{2 cos ^{2} ( x )}{x})

x \to a lim [c \cdot f (x)] = c \cdot x \to a lim f (x)

= 2 \cdot x \to - \infty lim (\frac{cos ^{2} ( x )}{x})

Aplicar el teorema del emparedado:

0

x \to - \infty lim (\frac{cos ^{2} ( x )}{x})

Teorema del emparedado

x \to - \infty lim (\frac{0}{x}) = 0

x \to - \infty lim (\frac{0}{x})

Aplicar las propiedades para limites infinitos/en el infinito:

x \to - \infty lim (\frac{c}{x ^{a}}) = 0

= 0

x \to - \infty lim (\frac{1}{x}) = 0

x \to - \infty lim (\frac{1}{x})

Aplicar las propiedades para limites infinitos/en el infinito:

x \to - \infty lim (\frac{c}{x ^{a}}) = 0

= 0

Por el teorema del emparedado

= 0

= 2 \cdot 0

Simplificar

= 0

The slope is zero, therefore

No slant asymptote

Encontrar una asintota para

x \to \infty :

Ninguno

Calcular

x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x}

para encontrar m:

x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to \infty lim \frac{2 cos ^{2} ( x )}{x} = 0

x \to \infty lim (\frac{2 cos ^{2} ( x )}{x})

x \to a lim [c \cdot f (x)] = c \cdot x \to a lim f (x)

= 2 \cdot x \to \infty lim (\frac{cos ^{2} ( x )}{x})

Aplicar el teorema del emparedado:

0

x \to \infty lim (\frac{cos ^{2} ( x )}{x})

Teorema del emparedado

x \to \infty lim (\frac{0}{x}) = 0

x \to \infty lim (\frac{0}{x})

Aplicar las propiedades para limites infinitos/en el infinito:

x \to \infty lim (\frac{c}{x ^{a}}) = 0

= 0

x \to \infty lim (\frac{1}{x}) = 0

x \to \infty lim (\frac{1}{x})

Aplicar las propiedades para limites infinitos/en el infinito:

x \to \infty lim (\frac{c}{x ^{a}}) = 0

= 0

Por el teorema del emparedado

= 0

= 2 \cdot 0

Simplificar

= 0

The slope is zero, therefore

No slant asymptote

No slant asymptote

Ninguno

Puntos extremos de

2 cos^{2} (x) :

Máximo

(πn, 2),

Mínimo

(\frac{π}{2} + πn, 0)

Definicion del criterio de la primera derivada

Encontrar los puntos criticos:

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

2 cos^{2} (x)

Definición de punto crítico

Encontrar dónde

f^{'} (x)

es igual a cero o no está definido

2 cos^{2} (x)

f^{'} (x) = - 2 sin (2 x)

\frac{d}{d x} (2 cos^{2} (x))

Sacar la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 2 \frac{d}{d x} (cos^{2} (x))

Aplicar la regla de la cadena:

2 cos (x) \frac{d}{d x} (cos (x))

\frac{d}{d x} (cos^{2} (x))

Aplicar la regla de la cadena:

\frac{df ( u )}{d x} = \frac{df}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

f = u^{2}, u = cos (x)

= \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (cos (x))

\frac{d}{d u} (u^{2}) = 2 u

\frac{d}{d u} (u^{2})

Aplicar la regla de la potencia:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 2 u^{2 - 1}

Simplificar

= 2 u

= 2 u \frac{d}{d x} (cos (x))

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

= 2 cos (x) \frac{d}{d x} (cos (x))

= 2 cos (x) \frac{d}{d x} (cos (x))

\frac{d}{d x} (cos (x)) = - sin (x)

\frac{d}{d x} (cos (x))

Aplicar la regla de derivación:

\frac{d}{d x} (cos (x)) = - sin (x)

= - sin (x)

= 2 \cdot 2 cos (x) (- sin (x))

Simplificar

2 \cdot 2 cos (x) (- sin (x)) : - 2 sin (2 x)

2 \cdot 2 cos (x) (- sin (x))

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= - 2 \cdot 2 cos (x) sin (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= - 4 cos (x) sin (x)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 4 cos (x) sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= - 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2}

Simplificar

- 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2} : - 2 sin (2 x)

- 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{sin ( 2 x ) \cdot 4}{2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= - 2 sin (2 x)

= - 2 sin (2 x)

= - 2 sin (2 x)

= - 2 sin (2 x)

Resolver

- 2 sin (2 x) = 0 : x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

- 2 sin (2 x) = 0

Dividir ambos lados entre

- 2

- 2 sin (2 x) = 0

Dividir ambos lados entre

- 2

\frac{- 2 sin ( 2 x )}{- 2} = \frac{0}{- 2}

Simplificar

sin (2 x) = 0

sin (2 x) = 0

Soluciones generales para

sin (2 x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 x = 0 + 2 πn, 2 x = π + 2 πn

2 x = 0 + 2 πn, 2 x = π + 2 πn

Resolver

2 x = 0 + 2 πn : x = πn

2 x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

2 x = 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x = 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x = πn

x = πn

Resolver

2 x = π + 2 πn : x = \frac{π}{2} + πn

2 x = π + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x = π + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x = \frac{π}{2} + πn

x = \frac{π}{2} + πn

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

Identificar puntos críticos que no esten en el dominio de

f (x)

Dominio de

2 cos^{2} (x) : - \infty < x < \infty

Definición de dominio

La función no tiene puntos no definidos ni limitaciones de dominio. Por lo tanto, el dominio es

- \infty < x < \infty

Todos los puntos críticos están en el dominio

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

Dominio de

2 cos^{2} (x) : - \infty < x < \infty

Definición de dominio

La función no tiene puntos no definidos ni limitaciones de dominio. Por lo tanto, el dominio es

- \infty < x < \infty

Find intervals:

Decreciente

: πn < x < \frac{π}{2} + πn,

Creciente

: \frac{π}{2} + πn < x < π + πn

Periodicidad de

2 cos^{2} (x) : π

Periodicidad de

cos^{n} (x) = \frac{Periodicidad de cos ( x )}{2},

si n es par

Periodicidad de

cos (x) : 2 π

La periodicidad de

: cos (x)

2 π

= 2 π

= \frac{2 π}{2}

Simplificar

= π

Combinar los puntos criticos:

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

con el periodo:

πn \leq x < π + πn

Los intervalos monotonos de la función son:

πn < x < \frac{π}{2} + πn, \frac{π}{2} + πn < x < π + πn

Verificar el signo de

f^{'} (x) = - 2 sin (2 x)

en cada intervalo de la función monotona

Verificar el signo de

- 2 sin (2 x)

πn < x < \frac{π}{2} + πn :

Negativo

Evaluar la derivada en un punto del intervalo. Tomar el punto

x = 1 + πn

y sustituirlo en

- 2 sin (2 x)

- 2 sin (2 (1 + πn))

Ya que

f (x)

es periódico, entonces

f^{'} (x)

también es periódico:

- 2 sin (2 (x + πn)) = - 2 sin (2 x)

- 2 sin (2 \cdot 1)

Simplificar

- 2 sin (2)

Simplificar a una forma decimal

- 1.81859 \dots

Negativo

Verificar el signo de

- 2 sin (2 x)

\frac{π}{2} + πn < x < π + πn :

Positivo

Evaluar la derivada en un punto del intervalo. Tomar el punto

x = 2 + πn

y sustituirlo en

- 2 sin (2 x)

- 2 sin (2 (2 + πn))

Ya que

f (x)

es periódico, entonces

f^{'} (x)

también es periódico:

- 2 sin (2 (x + πn)) = - 2 sin (2 x)

- 2 sin (2 \cdot 2)

Simplificar

- 2 sin (4)

Simplificar a una forma decimal

1.51360 \dots

Positivo

Resumen del comportamiento de los intervalos de las funciones monotonas

Signo Comportamiento x = πn 0 M \overset{a}{ˊ} ximo πn < x < \frac{π}{2} + πn - Decreciente x = \frac{π}{2} + πn 0 M \overset{ı}{ˊ} nimo \frac{π}{2} + πn < x < π + πn + Creciente

Decreciente : πn < x < \frac{π}{2} + πn, Creciente : \frac{π}{2} + πn < x < π + πn

Sustituir el punto extremo

x = πn

2 cos^{2} (x) \Rightarrow y = 2

M \overset{a}{ˊ} ximo (πn, 2)

Sustituir el punto extremo

x = \frac{π}{2} + πn

2 cos^{2} (x) \Rightarrow y = 0

M \overset{ı}{ˊ} nimo (\frac{π}{2} + πn, 0)

M \overset{a}{ˊ} ximo (πn, 2), M \overset{ı}{ˊ} nimo (\frac{π}{2} + πn, 0)

Ejemplos populares

identidade csc^2(θ)identidade

csc^{2} (θ)

identidade 2cos(x)sin(x)identidade

2 cos (x) sin (x)

identidade 1/(csc(x))identidade

\frac{1}{csc ( x )}

identidade 1+cot^2(θ)identidade

1 + cot^{2} (θ)

identidade (cos^2(x))/(sin^2(x))identidade

\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}