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人気のある三角関数 >

1/(sin^2(x))-1/(cos^2(x))>= 8/3

解

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )} \geq \frac{8}{3}

解

2 πn < x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x < π + 2 πn or π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

+2

区間表記

(2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn] \cup [\frac{5 π}{6} + 2 πn, π + 2 πn) \cup (π + 2 πn, \frac{7 π}{6} + 2 πn] \cup [\frac{11 π}{6} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

十進法表記

2 πn < x \leq 0.52359 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn \leq x < 3.14159 \dots + 2 πn or 3.14159 \dots + 2 πn < x \leq 3.66519 \dots + 2 πn or 5.75958 \dots + 2 πn \leq x < 6.28318 \dots + 2 πn

解答ステップ

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )} \geq \frac{8}{3}

次の恒等を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

このため

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{1 - sin ^{2} ( x )} \geq \frac{8}{3}

仮定:

v = sin (x)

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} \geq \frac{8}{3}

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} \geq \frac{8}{3} : - \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} \geq \frac{8}{3}

標準的な形式で書き換える

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} \geq \frac{8}{3}

両辺から

\frac{8}{3}

を引く

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} - \frac{8}{3} \geq \frac{8}{3} - \frac{8}{3}

簡素化

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} - \frac{8}{3} \geq 0

簡素化

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} - \frac{8}{3} : \frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} - \frac{8}{3}

因数

- v^{2} + 1 : - (v + 1) (v - 1)

- v^{2} + 1

共通項をくくり出す

- 1

= - (v^{2} - 1)

因数

v^{2} - 1 : (v + 1) (v - 1)

v^{2} - 1

1

を書き換え

1^{2}

= v^{2} - 1^{2}

2乗の差の公式を適用する:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

v^{2} - 1^{2} = (v + 1) (v - 1)

= (v + 1) (v - 1)

= - (v + 1) (v - 1)

= \frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{- ( v + 1 ) ( v - 1 )} - \frac{8}{3}

以下の最小公倍数:

v^{2}, - (v + 1) (v - 1), 3 : 3 v^{2} (v + 1) (v - 1)

v^{2}, - (v + 1) (v - 1), 3

最小公倍数 (LCM)

因数分解された式の 1 つ以上に合わられる因数で構成された式を計算する

= 3 v^{2} (v + 1) (v - 1)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

3 v^{2} (v + 1) (v - 1)

\frac{1}{v ^{2}}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

3 (v + 1) (v - 1)

\frac{1}{v ^{2}} = \frac{1 \cdot 3 ( v + 1 ) ( v - 1 )}{v ^{2} \cdot 3 ( v + 1 ) ( v - 1 )} = \frac{3 ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

\frac{1}{- ( v + 1 ) ( v - 1 )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

- 3 v^{2}

\frac{1}{- ( v + 1 ) ( v - 1 )} = \frac{1 \cdot ( - 3 v ^{2} )}{( - ( v + 1 ) ( v - 1 ) ) ( - 3 v ^{2} )} = \frac{- 3 v ^{2}}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

\frac{8}{3}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

v^{2} (v + 1) (v - 1)

\frac{8}{3} = \frac{8 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

= \frac{3 ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} - \frac{- 3 v ^{2}}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} - \frac{8 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 ( v + 1 ) ( v - 1 ) - ( - 3 v ^{2} ) - 8 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

規則を適用

- (- a) = a

= \frac{3 ( v + 1 ) ( v - 1 ) + 3 v ^{2} - 8 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

拡張

3 (v + 1) (v - 1) + 3 v^{2} - 8 v^{2} (v + 1) (v - 1) : - 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3

3 (v + 1) (v - 1) + 3 v^{2} - 8 v^{2} (v + 1) (v - 1)

拡張

3 (v + 1) (v - 1) : 3 v^{2} - 3

拡張

(v + 1) (v - 1) : v^{2} - 1

(v + 1) (v - 1)

2乗の差の公式を適用する:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = v, b = 1

= v^{2} - 1^{2}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= v^{2} - 1

= 3 (v^{2} - 1)

拡張

3 (v^{2} - 1) : 3 v^{2} - 3

3 (v^{2} - 1)

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = v^{2}, c = 1

= 3 v^{2} - 3 \cdot 1

数を乗じる:

3 \cdot 1 = 3

= 3 v^{2} - 3

= 3 v^{2} - 3

= 3 v^{2} - 3 + 3 v^{2} - 8 v^{2} (v + 1) (v - 1)

拡張

- 8 v^{2} (v + 1) (v - 1) : - 8 v^{4} + 8 v^{2}

拡張

(v + 1) (v - 1) : v^{2} - 1

(v + 1) (v - 1)

2乗の差の公式を適用する:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = v, b = 1

= v^{2} - 1^{2}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= v^{2} - 1

= - 8 v^{2} (v^{2} - 1)

拡張

- 8 v^{2} (v^{2} - 1) : - 8 v^{4} + 8 v^{2}

- 8 v^{2} (v^{2} - 1)

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = - 8 v^{2}, b = v^{2}, c = 1

= - 8 v^{2} v^{2} - (- 8 v^{2}) \cdot 1

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a

= - 8 v^{2} v^{2} + 8 \cdot 1 \cdot v^{2}

簡素化

- 8 v^{2} v^{2} + 8 \cdot 1 \cdot v^{2} : - 8 v^{4} + 8 v^{2}

- 8 v^{2} v^{2} + 8 \cdot 1 \cdot v^{2}

8 v^{2} v^{2} = 8 v^{4}

8 v^{2} v^{2}

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

v^{2} v^{2} = v^{2 + 2}

= 8 v^{2 + 2}

数を足す:

2 + 2 = 4

= 8 v^{4}

8 \cdot 1 \cdot v^{2} = 8 v^{2}

8 \cdot 1 \cdot v^{2}

数を乗じる:

8 \cdot 1 = 8

= 8 v^{2}

= - 8 v^{4} + 8 v^{2}

= - 8 v^{4} + 8 v^{2}

= - 8 v^{4} + 8 v^{2}

= 3 v^{2} - 3 + 3 v^{2} - 8 v^{4} + 8 v^{2}

簡素化

3 v^{2} - 3 + 3 v^{2} - 8 v^{4} + 8 v^{2} : - 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3

3 v^{2} - 3 + 3 v^{2} - 8 v^{4} + 8 v^{2}

条件のようなグループ

= - 8 v^{4} + 3 v^{2} + 3 v^{2} + 8 v^{2} - 3

類似した元を足す:

3 v^{2} + 3 v^{2} + 8 v^{2} = 14 v^{2}

= - 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3

= - 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3

= \frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

\frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \geq 0

以下で両辺を乗じる:

3

\frac{3 ( - 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \geq 0 \cdot 3

簡素化

\frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \geq 0

\frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \geq 0

因数

\frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} : \frac{- ( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

\frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

因数

- 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3 : - (2 v + 1) (2 v - 1) (2 v + 3) (2 v - 3)

- 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3

共通項をくくり出す

- 1

= - (8 v^{4} - 14 v^{2} + 3)

因数

8 v^{4} - 14 v^{2} + 3 : (2 v + 1) (2 v - 1) (2 v + 3) (2 v - 3)

8 v^{4} - 14 v^{2} + 3

u =

にする

v^{2}

= 8 u^{2} - 14 u + 3

因数

8 u^{2} - 14 u + 3 : (4 u - 1) (2 u - 3)

8 u^{2} - 14 u + 3

式をグループに分ける

8 u^{2} - 14 u + 3

定義

以下の因数:

24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

24

除数 (因数)

以下の素因数を求める:

24 : 2, 2, 2, 3

24

24224 = 12 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 12

12212 = 6 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 6

626 = 3 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

以下の素因数を乗じる:

24 : 4, 8, 6, 12

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

4, 8, 6, 12

4, 8, 6, 12

素因数を加える:

2, 3

1 および

24

の数自体を加える

1, 24

以下の因数:

24

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

以下の負の因数:

24 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 8, - 12, - 24

因数に

- 1

を乗じて負の因数を得る

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 8, - 12, - 24

u * v = 24

などの各 2 因数で以下をチェックする:

u + v = - 14

以下をチェックする:

u = 1, v = 24 : u * v = 24, u + v = 25 \Rightarrow

偽以下をチェックする:

u = 2, v = 12 : u * v = 24, u + v = 14 \Rightarrow

偽

u = - 2, v = - 12

以下に分ける:

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(8 u^{2} - 2 u) + (- 12 u + 3)

= (8 u^{2} - 2 u) + (- 12 u + 3)

2 u

を

8 u^{2} - 2 u : 2 u (4 u - 1)

からくくり出す

8 u^{2} - 2 u

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 8 uu - 2 u

8

を書き換え

2 \cdot 4

= 2 \cdot 4 uu - 2 u

共通項をくくり出す

2 u

= 2 u (4 u - 1)

- 3

を

- 12 u + 3 : - 3 (4 u - 1)

からくくり出す

- 12 u + 3

12

を書き換え

3 \cdot 4

= - 3 \cdot 4 u + 3

共通項をくくり出す

- 3

= - 3 (4 u - 1)

= 2 u (4 u - 1) - 3 (4 u - 1)

共通項をくくり出す

4 u - 1

= (4 u - 1) (2 u - 3)

= (4 u - 1) (2 u - 3)

代用を戻す

u = v^{2}

= (4 v^{2} - 1) (2 v^{2} - 3)

因数

4 v^{2} - 1 : (2 v + 1) (2 v - 1)

4 v^{2} - 1

4 v^{2} - 1

を書き換え

(2 v)^{2} - 1^{2}

4 v^{2} - 1

4

を書き換え

2^{2}

= 2^{2} v^{2} - 1

1

を書き換え

1^{2}

= 2^{2} v^{2} - 1^{2}

指数の規則を適用する:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} v^{2} = (2 v)^{2}

= (2 v)^{2} - 1^{2}

= (2 v)^{2} - 1^{2}

2乗の差の公式を適用する:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 v)^{2} - 1^{2} = (2 v + 1) (2 v - 1)

= (2 v + 1) (2 v - 1)

= (2 v + 1) (2 v - 1) (2 v^{2} - 3)

因数

2 v^{2} - 3 : (2 v + 3) (2 v - 3)

2 v^{2} - 3

2 v^{2} - 3

を書き換え

(2 v)^{2} - (3)^{2}

2 v^{2} - 3

累乗根の規則を適用する:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} v^{2} - 3

累乗根の規則を適用する:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (2)^{2} v^{2} - (3)^{2}

指数の規則を適用する:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} v^{2} = (2 v)^{2}

= (2 v)^{2} - (3)^{2}

= (2 v)^{2} - (3)^{2}

2乗の差の公式を適用する:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 v)^{2} - (3)^{2} = (2 v + 3) (2 v - 3)

= (2 v + 3) (2 v - 3)

= (2 v + 1) (2 v - 1) (2 v + 3) (2 v - 3)

= - (2 v + 1) (2 v - 1) (2 v + 3) (2 v - 3)

= \frac{- ( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

\frac{- ( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \geq 0

両辺を

- 1

で乗じる (不等式を逆にする)

\frac{( - ( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 ) ) ( - 1 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \leq 0 \cdot (- 1)

簡素化

\frac{( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \leq 0

区間を特定する

以下の因数の符号を求める:

\frac{( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

以下の符号を求める:

2 v + 1

2 v + 1 = 0 : v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 = 0

1

を右側に移動します

2 v + 1 = 0

両辺から

1

を引く

2 v + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

2 v = - 1

2 v = - 1

以下で両辺を割る

2

2 v = - 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 v}{2} = \frac{- 1}{2}

簡素化

v = - \frac{1}{2}

v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0 : v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0

1

を右側に移動します

2 v + 1 < 0

両辺から

1

を引く

2 v + 1 - 1 < 0 - 1

簡素化

2 v < - 1

2 v < - 1

以下で両辺を割る

2

2 v < - 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 v}{2} < \frac{- 1}{2}

簡素化

v < - \frac{1}{2}

v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0 : v > - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0

1

を右側に移動します

2 v + 1 > 0

両辺から

1

を引く

2 v + 1 - 1 > 0 - 1

簡素化

2 v > - 1

2 v > - 1

以下で両辺を割る

2

2 v > - 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 v}{2} > \frac{- 1}{2}

簡素化

v > - \frac{1}{2}

v > - \frac{1}{2}

以下の符号を求める:

2 v - 1

2 v - 1 = 0 : v = \frac{1}{2}

2 v - 1 = 0

1

を右側に移動します

2 v - 1 = 0

両辺に

1

を足す

2 v - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

2 v = 1

2 v = 1

以下で両辺を割る

2

2 v = 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 v}{2} = \frac{1}{2}

簡素化

v = \frac{1}{2}

v = \frac{1}{2}

2 v - 1 < 0 : v < \frac{1}{2}

2 v - 1 < 0

1

を右側に移動します

2 v - 1 < 0

両辺に

1

を足す

2 v - 1 + 1 < 0 + 1

簡素化

2 v < 1

2 v < 1

以下で両辺を割る

2

2 v < 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 v}{2} < \frac{1}{2}

簡素化

v < \frac{1}{2}

v < \frac{1}{2}

2 v - 1 > 0 : v > \frac{1}{2}

2 v - 1 > 0

1

を右側に移動します

2 v - 1 > 0

両辺に

1

を足す

2 v - 1 + 1 > 0 + 1

簡素化

2 v > 1

2 v > 1

以下で両辺を割る

2

2 v > 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 v}{2} > \frac{1}{2}

簡素化

v > \frac{1}{2}

v > \frac{1}{2}

以下の符号を求める:

2 v + 3

2 v + 3 = 0 : v = - \frac{3}{2}

2 v + 3 = 0

3

を右側に移動します

2 v + 3 = 0

両辺から

3

を引く

2 v + 3 - 3 = 0 - 3

簡素化

2 v = - 3

2 v = - 3

以下で両辺を割る

2

2 v = - 3

以下で両辺を割る

2

\frac{2 v}{2} = \frac{- 3}{2}

簡素化

\frac{2 v}{2} = \frac{- 3}{2}

簡素化

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

共通因数を約分する:

2

= v

簡素化

\frac{- 3}{2} : - \frac{3}{2}

\frac{- 3}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3}{2}

同じべき乗を組み合わせる :

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= - \frac{3}{2}

v = - \frac{3}{2}

v = - \frac{3}{2}

v = - \frac{3}{2}

2 v + 3 < 0 : v < - \frac{3}{2}

2 v + 3 < 0

3

を右側に移動します

2 v + 3 < 0

両辺から

3

を引く

2 v + 3 - 3 < 0 - 3

簡素化

2 v < - 3

2 v < - 3

以下で両辺を割る

2

2 v < - 3

以下で両辺を割る

2

\frac{2 v}{2} < \frac{- 3}{2}

簡素化

\frac{2 v}{2} < \frac{- 3}{2}

簡素化

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

共通因数を約分する:

2

= v

簡素化

\frac{- 3}{2} : - \frac{3}{2}

\frac{- 3}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3}{2}

同じべき乗を組み合わせる :

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= - \frac{3}{2}

v < - \frac{3}{2}

v < - \frac{3}{2}

v < - \frac{3}{2}

2 v + 3 > 0 : v > - \frac{3}{2}

2 v + 3 > 0

3

を右側に移動します

2 v + 3 > 0

両辺から

3

を引く

2 v + 3 - 3 > 0 - 3

簡素化

2 v > - 3

2 v > - 3

以下で両辺を割る

2

2 v > - 3

以下で両辺を割る

2

\frac{2 v}{2} > \frac{- 3}{2}

簡素化

\frac{2 v}{2} > \frac{- 3}{2}

簡素化

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

共通因数を約分する:

2

= v

簡素化

\frac{- 3}{2} : - \frac{3}{2}

\frac{- 3}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3}{2}

同じべき乗を組み合わせる :

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= - \frac{3}{2}

v > - \frac{3}{2}

v > - \frac{3}{2}

v > - \frac{3}{2}

以下の符号を求める:

2 v - 3

2 v - 3 = 0 : v = \frac{3}{2}

2 v - 3 = 0

3

を右側に移動します

2 v - 3 = 0

両辺に

3

を足す

2 v - 3 + 3 = 0 + 3

簡素化

2 v = 3

2 v = 3

以下で両辺を割る

2

2 v = 3

以下で両辺を割る

2

\frac{2 v}{2} = \frac{3}{2}

簡素化

\frac{2 v}{2} = \frac{3}{2}

簡素化

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

共通因数を約分する:

2

= v

簡素化

\frac{3}{2} : \frac{3}{2}

\frac{3}{2}

同じべき乗を組み合わせる :

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{3}{2}

v = \frac{3}{2}

v = \frac{3}{2}

v = \frac{3}{2}

2 v - 3 < 0 : v < \frac{3}{2}

2 v - 3 < 0

3

を右側に移動します

2 v - 3 < 0

両辺に

3

を足す

2 v - 3 + 3 < 0 + 3

簡素化

2 v < 3

2 v < 3

以下で両辺を割る

2

2 v < 3

以下で両辺を割る

2

\frac{2 v}{2} < \frac{3}{2}

簡素化

\frac{2 v}{2} < \frac{3}{2}

簡素化

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

共通因数を約分する:

2

= v

簡素化

\frac{3}{2} : \frac{3}{2}

\frac{3}{2}

同じべき乗を組み合わせる :

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{3}{2}

v < \frac{3}{2}

v < \frac{3}{2}

v < \frac{3}{2}

2 v - 3 > 0 : v > \frac{3}{2}

2 v - 3 > 0

3

を右側に移動します

2 v - 3 > 0

両辺に

3

を足す

2 v - 3 + 3 > 0 + 3

簡素化

2 v > 3

2 v > 3

以下で両辺を割る

2

2 v > 3

以下で両辺を割る

2

\frac{2 v}{2} > \frac{3}{2}

簡素化

\frac{2 v}{2} > \frac{3}{2}

簡素化

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

共通因数を約分する:

2

= v

簡素化

\frac{3}{2} : \frac{3}{2}

\frac{3}{2}

同じべき乗を組み合わせる :

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{3}{2}

v > \frac{3}{2}

v > \frac{3}{2}

v > \frac{3}{2}

以下の符号を求める:

v^{2}

v^{2} = 0 : v = 0

v^{2} = 0

規則を適用

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

v = 0

v^{2} > 0 : v < 0 or v > 0

v^{2} > 0

u^{n} > 0

では

n

は偶数の場合,

u < 0

or

u > 0

v < 0 or v > 0

以下の符号を求める:

v + 1

v + 1 = 0 : v = - 1

v + 1 = 0

1

を右側に移動します

v + 1 = 0

両辺から

1

を引く

v + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

v = - 1

v = - 1

v + 1 < 0 : v < - 1

v + 1 < 0

1

を右側に移動します

v + 1 < 0

両辺から

1

を引く

v + 1 - 1 < 0 - 1

簡素化

v < - 1

v < - 1

v + 1 > 0 : v > - 1

v + 1 > 0

1

を右側に移動します

v + 1 > 0

両辺から

1

を引く

v + 1 - 1 > 0 - 1

簡素化

v > - 1

v > - 1

以下の符号を求める:

v - 1

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

1

を右側に移動します

v - 1 = 0

両辺に

1

を足す

v - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

v = 1

v = 1

v - 1 < 0 : v < 1

v - 1 < 0

1

を右側に移動します

v - 1 < 0

両辺に

1

を足す

v - 1 + 1 < 0 + 1

簡素化

v < 1

v < 1

v - 1 > 0 : v > 1

v - 1 > 0

1

を右側に移動します

v - 1 > 0

両辺に

1

を足す

v - 1 + 1 > 0 + 1

簡素化

v > 1

v > 1

特異点を求める

分母のゼロを求める

v^{2} (v + 1) (v - 1) : v = 0, v = - 1, v = 1

v^{2} (v + 1) (v - 1) = 0

零因子の原則を使用:

ab = 0

ならば

a = 0

または

b = 0

v = 0 or v + 1 = 0 or v - 1 = 0

解く

v + 1 = 0 : v = - 1

v + 1 = 0

1

を右側に移動します

v + 1 = 0

両辺から

1

を引く

v + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

v = - 1

v = - 1

解く

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

1

を右側に移動します

v - 1 = 0

両辺に

1

を足す

v - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

v = 1

v = 1

解答は

v = 0, v = - 1, v = 1

表で要約する:

2 v + 1 2 v - 1 2 v + 3 2 v - 3 v^{2} v + 1 v - 1 \frac{( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} v < - \frac{3}{2} - - - - + - - + v = - \frac{3}{2} - - 0 - + - - 0 - \frac{3}{2} < v < - 1 - - + - + - - - v = - 1 - - + - + 0 - 未定義 - 1 < v < - \frac{1}{2} - - + - + + - + v = - \frac{1}{2} 0 - + - + + - 0 - \frac{1}{2} < v < 0 + - + - + + - - v = 0 + - + - 0 + - 未定義 0 < v < \frac{1}{2} + - + - + + - - v = \frac{1}{2} + 0 + - + + - 0 \frac{1}{2} < v < 1 + + + - + + - + v = 1 + + + - + + 0 未定義 1 < v < \frac{3}{2} + + + - + + + - v = \frac{3}{2} + + + 0 + + + 0 v > \frac{3}{2} + + + + + + + +

必要条件を満たす区間を特定する:

\leq 0

v = - \frac{3}{2} or - \frac{3}{2} < v < - 1 or v = - \frac{1}{2} or - \frac{1}{2} < v < 0 or 0 < v < \frac{1}{2} or v = \frac{1}{2} or 1 < v < \frac{3}{2} or v = \frac{3}{2}

重複している区間をマージする

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v < \frac{3}{2} or v = \frac{3}{2}

2つの区間の和集合は, 区間

v = - \frac{3}{2}

または

のいずれかの数の集合である

- \frac{3}{2} < v < - 1

- \frac{3}{2} \leq v < - 1

2つの区間の和集合は, 区間

- \frac{3}{2} \leq v < - 1

または

のいずれかの数の集合である

v = - \frac{1}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or v = - \frac{1}{2}

2つの区間の和集合は, 区間

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or v = - \frac{1}{2}

または

のいずれかの数の集合である

- \frac{1}{2} < v < 0

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0

2つの区間の和集合は, 区間

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0

または

のいずれかの数の集合である

0 < v < \frac{1}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v < \frac{1}{2}

2つの区間の和集合は, 区間

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v < \frac{1}{2}

または

のいずれかの数の集合である

v = \frac{1}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2}

2つの区間の和集合は, 区間

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2}

または

のいずれかの数の集合である

1 < v < \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v < \frac{3}{2}

2つの区間の和集合は, 区間

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v < \frac{3}{2}

または

のいずれかの数の集合である

v = \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v \leq \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v \leq \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v \leq \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v \leq \frac{3}{2}

代用を戻す

v = sin (x)

- \frac{3}{2} \leq sin (x) < - 1 or - \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) \leq \frac{1}{2} or 1 < sin (x) \leq \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq sin (x) < - 1 :

すべて偽

x \in R

- \frac{3}{2} \leq sin (x) < - 1

a \leq u < b

の場合は

a \leq u and u < b

- \frac{3}{2} \leq sin (x) and sin (x) < - 1

- \frac{3}{2} \leq sin (x) :

すべて真

x \in R

- \frac{3}{2} \leq sin (x)

辺を交換する

sin (x) \geq - \frac{3}{2}

以下の範囲:

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

関数範囲の定義

基本的な

sin

関数の範囲は

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq - \frac{3}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

y =

にする

sin (x)

区間を組み合わせる

y \geq - \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

重複している区間をマージする

y \geq - \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

2つの区間の交点は, 区間

y \geq - \frac{3}{2}

と

の両方の数の集合である

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

すべての x で真

すべて真 x \in R

sin (x) < - 1 :

すべて偽

x \in R

sin (x) < - 1

以下の範囲:

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

関数範囲の定義

基本的な

sin

関数の範囲は

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) < - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

偽

y =

にする

sin (x)

区間を組み合わせる

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

重複している区間をマージする

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

2つの区間の交点は, 区間

y < - 1

と

の両方の数の集合である

- 1 \leq y \leq 1

すべて偽 y \in R

すべて偽 y \in R

以下の解はない : x \in R

すべて偽 x \in R

区間を組み合わせる

すべて真 x \in R and すべて偽 x \in R

重複している区間をマージする

すべて真 x \in R and すべて偽 x \in R

2つの区間の交点は, 区間

すべて真

x \in R

と

の両方の数の集合であるすべて偽

x \in R

すべて偽 x \in R

すべて偽 x \in R

- \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0 : π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

- \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0

a \leq u < b

の場合は

a \leq u and u < b

- \frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) < 0

- \frac{1}{2} \leq sin (x) : - \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn

- \frac{1}{2} \leq sin (x)

辺を交換する

sin (x) \geq - \frac{1}{2}

sin (x) \geq a

では,

- 1 < a < 1

の場合は

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

簡素化

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

次のプロパティを使用する:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

簡素化

π - arcsin (- \frac{1}{2}) : \frac{7 π}{6}

π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

次のプロパティを使用する:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= π - (- \frac{π}{6})

簡素化

π - (- \frac{π}{6})

規則を適用

- (- a) = a

= π + \frac{π}{6}

元を分数に変換する:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 + π}{6}

類似した元を足す:

6 π + π = 7 π

= \frac{7 π}{6}

= \frac{7 π}{6}

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

sin (x) < a

では,

- 1 < a \leq 1

の場合は

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

簡素化

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

簡素化

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

簡素化

- π + 2 πn < x < 2 πn

区間を組み合わせる

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn and - π + 2 πn < x < 2 πn

重複している区間をマージする

π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

0 < sin (x) \leq \frac{1}{2} : 2 πn < x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x < π + 2 πn

0 < sin (x) \leq \frac{1}{2}

a < u \leq b

の場合は

a < u and u \leq b

0 < sin (x) and sin (x) \leq \frac{1}{2}

0 < sin (x) : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x)

辺を交換する

sin (x) > 0

sin (x) > a

では,

- 1 \leq a < 1

の場合は

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

簡素化

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

簡素化

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

簡素化

2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) \leq \frac{1}{2} : - \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{1}{2}

sin (x) \leq a

では,

- 1 < a < 1

の場合は

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

簡素化

- π - arcsin (\frac{1}{2}) : - \frac{7 π}{6}

- π - arcsin (\frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6}

簡素化

- π - \frac{π}{6}

元を分数に変換する:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 - π}{6}

類似した元を足す:

- 6 π - π = - 7 π

= \frac{- 7 π}{6}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{7 π}{6}

= - \frac{7 π}{6}

簡素化

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

区間を組み合わせる

2 πn < x < π + 2 πn and - \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

重複している区間をマージする

2 πn < x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x < π + 2 πn

1 < sin (x) \leq \frac{3}{2} :

すべて偽

x \in R

1 < sin (x) \leq \frac{3}{2}

a < u \leq b

の場合は

a < u and u \leq b

1 < sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

1 < sin (x) :

すべて偽

x \in R

1 < sin (x)

辺を交換する

sin (x) > 1

以下の範囲:

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

関数範囲の定義

基本的な

sin

関数の範囲は

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

偽

y =

にする

sin (x)

区間を組み合わせる

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

重複している区間をマージする

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

2つの区間の交点は, 区間

y > 1

と

の両方の数の集合である

- 1 \leq y \leq 1

すべて偽 y \in R

すべて偽 y \in R

以下の解はない : x \in R

すべて偽 x \in R

sin (x) \leq \frac{3}{2} :

すべて真

x \in R

sin (x) \leq \frac{3}{2}

以下の範囲:

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

関数範囲の定義

基本的な

sin

関数の範囲は

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

y =

にする

sin (x)

区間を組み合わせる

y \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

重複している区間をマージする

y \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

2つの区間の交点は, 区間

y \leq \frac{3}{2}

と

の両方の数の集合である

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

すべての x で真

すべて真 x \in R

区間を組み合わせる

すべて偽 x \in R and すべて真 x \in R

重複している区間をマージする

すべて偽 x \in R and すべて真 x \in R

2つの区間の交点は, 区間

すべて偽

x \in R

と

の両方の数の集合であるすべて真

x \in R

すべて偽 x \in R

すべて偽 x \in R

区間を組み合わせる

すべて偽 x \in R or (π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn) or (2 πn < x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x < π + 2 πn) or すべて偽 x \in R

重複している区間をマージする

2 πn < x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x < π + 2 πn or π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

人気の例

cos(x)>= sin(x)

cos (x) \geq sin (x)

sin (x) < 1

tan (x) < 0.7

sin (2 x) > 0

sin (x) \geq \frac{1}{2}