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受欢迎的三角函数 >

3cos^2(x)+5cos(x)-2<0

解答

3 cos^{2} (x) + 5 cos (x) - 2 < 0

解答

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

+2

间隔符号

(arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn)

十进制

1.23095 \dots + 2 πn < x < 5.05222 \dots + 2 πn

求解步骤

3 cos^{2} (x) + 5 cos (x) - 2 < 0

令

: u = cos (x)

3 u^{2} + 5 u - 2 < 0

3 u^{2} + 5 u - 2 < 0 : - 2 < u < \frac{1}{3}

3 u^{2} + 5 u - 2 < 0

分解

3 u^{2} + 5 u - 2 : (3 u - 1) (u + 2)

3 u^{2} + 5 u - 2

将表达式拆分成组

3 u^{2} + 5 u - 2

定义

6

的因数:

1, 2, 3, 6

6

约数 (因数)

找到

6

的质因数:

2, 3

6

6

除以

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 3

添加质因数:

2, 3

将 1 和数字

6

自身相加

1, 6

6

的因数

1, 2, 3, 6

6

的负因数:

- 1, - 2, - 3, - 6

将因数乘以

- 1

得到负因数

- 1, - 2, - 3, - 6

对于每两个因数

u * v = - 6

，检验是否

u + v = 5

检验

u = 1, v = - 6 : u * v = - 6, u + v = - 5 \Rightarrow

假检验

u = 2, v = - 3 : u * v = - 6, u + v = - 1 \Rightarrow

假

u = 6, v = - 1

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(3 u^{2} - u) + (6 u - 2)

= (3 u^{2} - u) + (6 u - 2)

从

3 u^{2} - u

分解出因式

u

:

u (3 u - 1)

3 u^{2} - u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 3 uu - u

因式分解出通项

u

= u (3 u - 1)

从

6 u - 2

分解出因式

2

:

2 (3 u - 1)

6 u - 2

将

6

改写为

2 \cdot 3

= 2 \cdot 3 u - 2

因式分解出通项

2

= 2 (3 u - 1)

= u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1)

因式分解出通项

3 u - 1

= (3 u - 1) (u + 2)

(3 u - 1) (u + 2) < 0

确定区间

确定

(3 u - 1) (u + 2)

符号

确定

3 u - 1

符号

3 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{3}

3 u - 1 = 0

将

1

到右边

3 u - 1 = 0

两边加上

1

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

3 u = 1

3 u = 1

两边除以

3

3 u = 1

两边除以

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

化简

u = \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0

将

1

到右边

3 u - 1 < 0

两边加上

1

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

3 u < 1

3 u < 1

两边除以

3

3 u < 1

两边除以

3

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

化简

u < \frac{1}{3}

u < \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0

将

1

到右边

3 u - 1 > 0

两边加上

1

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

3 u > 1

3 u > 1

两边除以

3

3 u > 1

两边除以

3

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

化简

u > \frac{1}{3}

u > \frac{1}{3}

确定

u + 2

符号

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

将

2

到右边

u + 2 = 0

两边减去

2

u + 2 - 2 = 0 - 2

化简

u = - 2

u = - 2

u + 2 < 0 : u < - 2

u + 2 < 0

将

2

到右边

u + 2 < 0

两边减去

2

u + 2 - 2 < 0 - 2

化简

u < - 2

u < - 2

u + 2 > 0 : u > - 2

u + 2 > 0

将

2

到右边

u + 2 > 0

两边减去

2

u + 2 - 2 > 0 - 2

化简

u > - 2

u > - 2

总结如下表：

3 u - 1 u + 2 (3 u - 1) (u + 2) u < - 2 - - + u = - 2 - 00 - 2 < u < \frac{1}{3} - + - u = \frac{1}{3} 0 + 0 u > \frac{1}{3} + + +

确定满足所需条件的区间：

< 0

- 2 < u < \frac{1}{3}

- 2 < u < \frac{1}{3}

- 2 < u < \frac{1}{3}

u = cos (x)

代回

- 2 < cos (x) < \frac{1}{3}

若

a < u < b

，则

a < u and u < b

- 2 < cos (x) and cos (x) < \frac{1}{3}

- 2 < cos (x) :

对所有

x \in R

为真

- 2 < cos (x)

交换两边

cos (x) > - 2

cos (x)

的值域:

- 1 \leq cos (x) \leq 1

函数值域定义

基本

cos

函数的值域为

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) > - 2 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

令

y = cos (x)

合并区间

y > - 2 and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y > - 2 and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y > - 2

and

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

对所有 x 为真

对所有 x \in R 为真

cos (x) < \frac{1}{3} : arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) < \frac{1}{3}

对于

cos (x) < a

，若

- 1 < a \leq 1

，则

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

合并区间

对所有 x \in R 为真 and arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

合并重叠的区间

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

流行的例子

cos (x) \leq \frac{1}{2}

1 + cos (2 t) \geq 0

15cos(pi/(15)x-(2pi)/3)+95<= 105

15 cos (\frac{π}{15} x - \frac{2 π}{3}) + 95 \leq 105

sin(θ)>0,sec(θ)<0

sin (θ) > 0, sec (θ) < 0

arctan (x) > 0