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Popolare Trigonometria >

3cos^2(x)+5cos(x)-2<0

Soluzione

3 cos^{2} (x) + 5 cos (x) - 2 < 0

Soluzione

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Notazione dell’intervallo

(arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn)

Decimale

1.23095 \dots + 2 πn < x < 5.05222 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

3 cos^{2} (x) + 5 cos (x) - 2 < 0

Sia:

u = cos (x)

3 u^{2} + 5 u - 2 < 0

3 u^{2} + 5 u - 2 < 0 : - 2 < u < \frac{1}{3}

3 u^{2} + 5 u - 2 < 0

Fattorizza

3 u^{2} + 5 u - 2 : (3 u - 1) (u + 2)

3 u^{2} + 5 u - 2

Suddividere l'espressione in gruppi

3 u^{2} + 5 u - 2

Definizione

Fattori di

6 : 1, 2, 3, 6

6

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

6 : 2, 3

6

6

diviso per

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 3

Aggiungi i fattori primi:

2, 3

Aggiungi 1 al numero

6

stesso

1, 6

I fattori di

6

1, 2, 3, 6

Fattori negativi di

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2, - 3, - 6

Per ogni due fattori tali che

u * v = - 6,

controllare se

u + v = 5

Verifica

u = 1, v = - 6 : u * v = - 6, u + v = - 5 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = 2, v = - 3 : u * v = - 6, u + v = - 1 \Rightarrow

Falso

u = 6, v = - 1

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(3 u^{2} - u) + (6 u - 2)

= (3 u^{2} - u) + (6 u - 2)

Fattorizza

u

3 u^{2} - u : u (3 u - 1)

3 u^{2} - u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 3 uu - u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (3 u - 1)

Fattorizza

2

6 u - 2 : 2 (3 u - 1)

6 u - 2

Riscrivi

6

come

2 \cdot 3

= 2 \cdot 3 u - 2

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (3 u - 1)

= u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1)

Fattorizzare dal termine comune

3 u - 1

= (3 u - 1) (u + 2)

(3 u - 1) (u + 2) < 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

(3 u - 1) (u + 2)

Trova i segni di

3 u - 1

3 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{3}

3 u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

3 u = 1

3 u = 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u = 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Semplificare

u = \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

3 u < 1

3 u < 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u < 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

Semplificare

u < \frac{1}{3}

u < \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

3 u > 1

3 u > 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u > 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

Semplificare

u > \frac{1}{3}

u > \frac{1}{3}

Trova i segni di

u + 2

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Spostare

2

a destra dell'equazione

u + 2 = 0

Sottrarre

2

da entrambi i lati

u + 2 - 2 = 0 - 2

Semplificare

u = - 2

u = - 2

u + 2 < 0 : u < - 2

u + 2 < 0

Spostare

2

a destra dell'equazione

u + 2 < 0

Sottrarre

2

da entrambi i lati

u + 2 - 2 < 0 - 2

Semplificare

u < - 2

u < - 2

u + 2 > 0 : u > - 2

u + 2 > 0

Spostare

2

a destra dell'equazione

u + 2 > 0

Sottrarre

2

da entrambi i lati

u + 2 - 2 > 0 - 2

Semplificare

u > - 2

u > - 2

Riassumere in una tabella:

3 u - 1 u + 2 (3 u - 1) (u + 2) u < - 2 - - + u = - 2 - 00 - 2 < u < \frac{1}{3} - + - u = \frac{1}{3} 0 + 0 u > \frac{1}{3} + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

< 0

- 2 < u < \frac{1}{3}

- 2 < u < \frac{1}{3}

- 2 < u < \frac{1}{3}

Sostituire indietro

u = cos (x)

- 2 < cos (x) < \frac{1}{3}

a < u < b

allora

a < u and u < b

- 2 < cos (x) and cos (x) < \frac{1}{3}

- 2 < cos (x) :

Vero per tutti

x \in R

- 2 < cos (x)

Scambia i lati

cos (x) > - 2

Intervallo di

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) > - 2 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Lasciare

y = cos (x)

Combina gli intervalli

y > - 2 and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y > - 2 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y > - 2

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vero per tutte x

Vero per tutti x \in R

cos (x) < \frac{1}{3} : arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) < \frac{1}{3}

Per

cos (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

allora

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Combina gli intervalli

Vero per tutti x \in R and arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Esempi popolari

cos(x)<= 1/2

cos (x) \leq \frac{1}{2}

1+cos(2t)>= 0

1 + cos (2 t) \geq 0

15cos(pi/(15)x-(2pi)/3)+95<= 105

15 cos (\frac{π}{15} x - \frac{2 π}{3}) + 95 \leq 105

sin(θ)>0,sec(θ)<0

sin (θ) > 0, sec (θ) < 0

arctan(x)>0

arctan (x) > 0