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人気のある三角関数 >

2sin^2(x)+3sin(x)+1<0

解

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) + 1 < 0

解

\frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{11 π}{6} + 2 πn

+2

区間表記

(\frac{7 π}{6} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, \frac{11 π}{6} + 2 πn)

十進法表記

3.66519 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < x < 5.75958 \dots + 2 πn

解答ステップ

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) + 1 < 0

仮定:

u = sin (x)

2 u^{2} + 3 u + 1 < 0

2 u^{2} + 3 u + 1 < 0 : - 1 < u < - \frac{1}{2}

2 u^{2} + 3 u + 1 < 0

因数

2 u^{2} + 3 u + 1 : (2 u + 1) (u + 1)

2 u^{2} + 3 u + 1

式をグループに分ける

2 u^{2} + 3 u + 1

定義

以下の因数:

2 : 1, 2

2

除数 (因数)

以下の素因数を求める:

2 : 2

2

2

は素数なので, 因数分解できない

= 2

1 を加える

1

以下の因数:

2

1, 2

u * v = 2

などの各 2 因数で以下をチェックする:

u + v = 3

以下をチェックする:

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

真

u = 1, v = 2

以下に分ける:

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (2 u + 1)

= (2 u^{2} + u) + (2 u + 1)

u

を

2 u^{2} + u : u (2 u + 1)

からくくり出す

2 u^{2} + u

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

共通項をくくり出す

u

= u (2 u + 1)

= u (2 u + 1) + (2 u + 1)

共通項をくくり出す

2 u + 1

= (2 u + 1) (u + 1)

(2 u + 1) (u + 1) < 0

区間を特定する

以下の因数の符号を求める:

(2 u + 1) (u + 1)

以下の符号を求める:

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

1

を右側に移動します

2 u + 1 = 0

両辺から

1

を引く

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

2 u = - 1

2 u = - 1

以下で両辺を割る

2

2 u = - 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

簡素化

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

1

を右側に移動します

2 u + 1 < 0

両辺から

1

を引く

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

簡素化

2 u < - 1

2 u < - 1

以下で両辺を割る

2

2 u < - 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

簡素化

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

1

を右側に移動します

2 u + 1 > 0

両辺から

1

を引く

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

簡素化

2 u > - 1

2 u > - 1

以下で両辺を割る

2

2 u > - 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

簡素化

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

以下の符号を求める:

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

1

を右側に移動します

u + 1 = 0

両辺から

1

を引く

u + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

1

を右側に移動します

u + 1 < 0

両辺から

1

を引く

u + 1 - 1 < 0 - 1

簡素化

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

1

を右側に移動します

u + 1 > 0

両辺から

1

を引く

u + 1 - 1 > 0 - 1

簡素化

u > - 1

u > - 1

表で要約する:

2 u + 1 u + 1 (2 u + 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < - \frac{1}{2} - + - u = - \frac{1}{2} 0 + 0 u > - \frac{1}{2} + + +

必要条件を満たす区間を特定する:

< 0

- 1 < u < - \frac{1}{2}

- 1 < u < - \frac{1}{2}

- 1 < u < - \frac{1}{2}

代用を戻す

u = sin (x)

- 1 < sin (x) < - \frac{1}{2}

a < u < b

の場合は

a < u and u < b

- 1 < sin (x) and sin (x) < - \frac{1}{2}

- 1 < sin (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

- 1 < sin (x)

辺を交換する

sin (x) > - 1

sin (x) > a

では,

- 1 \leq a < 1

の場合は

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- 1) + 2 πn < x < π - arcsin (- 1) + 2 πn

簡素化

arcsin (- 1) : - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

次のプロパティを使用する:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

簡素化

π - arcsin (- 1) : \frac{3 π}{2}

π - arcsin (- 1)

arcsin (- 1) = - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

次のプロパティを使用する:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

= π - (- \frac{π}{2})

簡素化

π - (- \frac{π}{2})

規則を適用

- (- a) = a

= π + \frac{π}{2}

元を分数に変換する:

π = \frac{π 2}{2}

= \frac{π 2}{2} + \frac{π}{2}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 + π}{2}

類似した元を足す:

2 π + π = 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) < - \frac{1}{2} : - \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) < - \frac{1}{2}

sin (x) < a

では,

- 1 < a \leq 1

の場合は

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn < x < arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

簡素化

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{5 π}{6}

- π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

次のプロパティを使用する:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6})

簡素化

- π - (- \frac{π}{6})

規則を適用

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{6}

元を分数に変換する:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 + π}{6}

類似した元を足す:

- 6 π + π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{6}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{6}

= - \frac{5 π}{6}

簡素化

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

次のプロパティを使用する:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

区間を組み合わせる

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn and - \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

重複している区間をマージする

\frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{11 π}{6} + 2 πn

人気の例

sin (x) \leq 0.5

sin(x/2)+cos(x/2)<1

sin (\frac{x}{2}) + cos (\frac{x}{2}) < 1

sin (t) > 0

sin(x)-cos(x)>= 0

sin (x) - cos (x) \geq 0

2sin(x)-sqrt(2)<0

2 sin (x) - 2 < 0