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2cos^2(x)+sin(2x)>= 1

Solución

2 cos^{2} (x) + sin (2 x) \geq 1

Solución

πn \leq x \leq \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq x \leq π + πn

Notación de intervalos

[πn, \frac{π}{2} + πn] \cup [\frac{3 π}{4} + πn, π + πn]

Notación decimal

πn \leq x \leq 1.57079 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn \leq x \leq 3.14159 \dots + πn

Pasos de solución

2 cos^{2} (x) + sin (2 x) \geq 1

Usar la siguiente identidad:

sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

2 cos (x) sin (x) + 2 cos^{2} (x) \geq 1

Periodicidad de

2 cos (x) sin (x) + 2 cos^{2} (x) : π

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

2 cos (x) sin (x), 2 cos^{2} (x)

Periodicidad de

2 cos (x) sin (x) : π

2 cos (x) sin (x)

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

cos (x)

con periodicidad de

2 π

La periodicidad compuesta es:

π

Periodicidad de

2 cos^{2} (x) : π

Periodicidad de

cos^{n} (x) = \frac{Periodicidad de cos ( x )}{2},

si n es par

Periodicidad de

cos (x) : 2 π

La periodicidad de

: cos (x)

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Simplificar

π

Combinar períodos:

π, π

= π

Factorizar

2 cos (x) sin (x) + 2 cos^{2} (x) : 2 cos (x) (sin (x) + cos (x))

2 cos (x) sin (x) + 2 cos^{2} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (x) = cos (x) cos (x)

= 2 sin (x) cos (x) + 2 cos (x) cos (x)

Factorizar el termino común

2 cos (x)

= 2 cos (x) (sin (x) + cos (x))

2 cos (x) (sin (x) + cos (x)) \geq 1

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

2 cos (x) (sin (x) + cos (x)) = 0

Resolver

2 cos (x) (sin (x) + cos (x)) = 0

para

0 \leq x < π

2 cos (x) (sin (x) + cos (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

sin (x) + cos (x) = 0 : x = \frac{3 π}{4}

sin (x) + cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x) + cos (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1 = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) + 1 = 0

tan (x) + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

tan (x) + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

tan (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

tan (x) = - 1

tan (x) = - 1

Soluciones generales para

tan (x) = - 1

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{3 π}{4}

Combinar toda las soluciones

\frac{π}{2} or \frac{3 π}{4}

Los intervalos entre ceros

0 < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π

Resumir en una tabla:

cos (x) sin (x) + cos (x) 2 cos (x) (sin (x) + cos (x)) x = 0 + + + 0 < x < \frac{π}{2} + + + x = \frac{π}{2} 0 + 0 \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4} - + - x = \frac{3 π}{4} - 00 \frac{3 π}{4} < x < π - - + x = π - - +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\geq 0

x = 0 or 0 < x < \frac{π}{2} or x = \frac{π}{2} or x = \frac{3 π}{4} or \frac{3 π}{4} < x < π or x = π

Mezclar intervalos sobrepuestos

0 \leq x \leq \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} \leq x < π or x = π